[论文解读] The moments of the distance between two random points in a regular polygon

Uwe Bäsel|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2021

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 5

一句话总结

本文推导出在外接圆半径为 r 的正 n 边形中，两个独立均匀随机点之间距离的各阶矩的闭式解析表达式。利用几何概率方法及 Voss 关于弦幂积分的结果，给出了第一、第二和第四矩的精确公式，其中 n = 5, 8, 10, 12 的结果为新发现，且对 n ≤ 30 提供了高精度（75–76 位有效数字）的数值结果。

ABSTRACT

In this paper, we derive formulas for the analytical calculation of the moments of the distance between two uniformly and independently distributed random points in an $n$-sided regular polygon. A number of closed form expressions is provided, e.g. the expected distances for $n = 3,4,5,6,8,10,12$, where the results for $n = 5,8,10,12$ are new to the best of the author's knowledge. Applying results of Voss, remarkably short formulas for the second and the fourth moments are derived.

研究动机与目标

• 推导正 n 边形中两个独立均匀随机点之间距离的 m 阶矩的解析公式。
• 为特定正多边形的平均距离（第一矩）和更高阶矩（第二、第四矩）提供闭式表达式。
• 通过提供 n = 5, 8, 10, 12 的新精确公式，拓展现有几何概率研究结果，这些结果在作者所知范围内为首次提出。
• 利用 Voss 及其他已有成果，推导第二和第四矩的紧凑表达式。
• 为五边形提供第一矩（至第 10 阶矩）的高精度数值结果（75–76 位有效数字）。

提出的方法

• 从先前工作推导出弦长分布函数 F_{n,r} 的简化形式，以支持后续矩的计算。
• 使用累积分布函数 G_{n,r} 通过积分计算矩，其原函数以闭式形式导出。
• 应用 Voss 的一个结果，获得第二矩 M_2(P_{n,r}) 的极为简洁的表达式，从而简化方差计算。
• 利用文献 [30] 中关于第二面积矩的结果，推导出第四矩 M_4(P_{n,r}) 的紧凑表达式。
• 将各矩表示为 π/n 的三角函数形式，从而实现对任意 n 的精确符号计算。
• 通过验证当 n → ∞ 时，M_4(P_{n,r}) 趋近于 (5/3)r^4，即圆的已知极限结果，从而验证结果的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 m = 1, 2, 4 及特定的 n，正 n 边形中外接圆半径为 r 的两个随机点之间距离的 m 阶矩的精确闭式表达式是什么？
• RQ2 如何利用几何概率中的已知结果，将第二和第四矩表示为极为简短的公式？
• RQ3 n = 3 到 30 的第一矩 M_1(P_{n,r})/r 的高精度值是多少？以及 m = -1 到 10 的 M_m(P_{5,r})/r^m 的高精度值是多少？
• RQ4 随着 n 增大，正多边形的各阶矩如何收敛到圆的对应矩？
• RQ5 弦幂积分 S_m(P_{n,r}) 与矩 M_m(P_{n,r}) 之间存在何种关系？

主要发现

• 本文推导出第四矩的新闭式表达式：M_4(P_{n,r}) = (r^4 / 90)(77 + 64 cos(2π/n) + 9 cos(4π/n))，对任意 n ≥ 3 成立。
• 对于第二矩，获得一个紧凑公式：M_2(P_{n,r}) = (2r^4 / 45)(8 + 6 cos(2π/n) + cos(4π/n)) + (r^4 / 18)(9 + 8 cos(2π/n) + cos(4π/n))，从而简化了方差的计算。
• 第一矩 M_1(P_{n,r}) 对 n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12 以闭式形式计算，其中 n = 5, 8, 10, 12 的结果在作者所知范围内为新发现。
• 提供了 M_1(P_{n,r})/r 从 n = 3 到 30 的高精度值（75–76 位有效数字），以及 m = -1 到 10 的 M_m(P_{5,r})/r^m 的高精度值。
• 当 n → ∞ 时，第四矩收敛于 (5/3)r^4，与圆的已知结果一致，验证了极限情况下的正确性。
• 计算得出弦幂积分 S_2(P_{6,r}) ≈ 12.568534 r^3，证明了本研究结果在几何积分几何中的适用性。