[论文解读] The Mondrian Puzzle: A Connection to Number Theory

Cooper O'Kuhn|arXiv (Cornell University)|Oct 10, 2018

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一句话总结

本文利用数论方法，尽管该问题起源于几何，仍建立了关于Mondrian Puzzle中最小面积差 $ M(n) \neq 0 $ 的整数 $ n \leq x $ 的非平凡下界。证明表明，此类 $ n $ 的密度至少为 $ \frac{C_\epsilon \log \log x}{\log x} $，其中 $ C_\epsilon = \frac{1}{e^\gamma (2\log 2 + \epsilon)} $，为 $ M(n) = 0 $ 永远不会发生提供了强有力证据。

ABSTRACT

We obtain partial progress towards answering the question of whether the quantity defined in the Mondrian Puzzle can ever equal 0. More specifically, we obtain a nontrivial lower bound for the cardinality of the set $\{n\leq x: M(n) eq0 \}$ where $M(n)$ is the quantity appearing in the Mondrian Puzzle and $x$ is the usual quantity that one thinks of as tending to infinity. More surprisingly, we do so by use of number theoretic techniques in juxtaposition to the innately geometric nature of the problem.

研究动机与目标

• 研究满足 $ M(n) \neq 0 $ 的整数 $ n $ 的密度，其中 $ M(n) $ 是Mondrian Puzzle中的最小面积差。
• 确定 $ M(n) = 0 $ 是否可能在任何情况下发生，这是组合几何中的一个长期开放问题。
• 使用数论方法，建立集合 $ \{n \leq x : M(n) \neq 0\} $ 大小的定量下界。
• 弥合Mondrian Puzzle的几何性质与乘法数论深层结果之间的差距。

提出的方法

• 证明从识别满足 $ n^2 $ 的因子上数论条件的一类 $ n $ 开始，该条件可保证 $ M(n) \neq 0 $。
• 使用指示函数 $ T_j(n^2)P_j(n) $ 来编码条件：$ \tau_2(n^2) = j $，且所有满足 $ d \mid n $ 的因子 $ d $ 均有 $ d > j $。
• 将求和限制在无平方因子的 $ n $ 上，利用无平方因子整数的渐近密度 $ \frac{6}{\pi^2} $，从而在常数因子范围内保持下界。
• 问题被简化为计数满足 $ p_1 < \cdots < p_r $ 的 $ r $ 元组，其中所有素数均大于 $ 3^r $，且乘积 $ \leq x $，其中 $ r \leq \log_3(g_\epsilon(x^2)) $。
• 利用素数定理和梅滕斯定理 $ \sum_{p \leq x} \frac{1}{p} = \log \log x + O(1) $ 来估计此类素数元组的数量。
• 通过在 $ r $ 上求和，最终得到下界阶为 $ \frac{x \log \log x}{\log x} $，并给出明确常数 $ C_\epsilon $。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ x \to \infty $ 时，是否可以证明集合 $ \{n \leq x : M(n) \neq 0\} $ 具有正密度？
• RQ2 是否可以利用解析数论证明 $ M(n) = 0 $ 永远不会发生？
• RQ3 集合 $ \{n \leq x : M(n) \neq 0\} $ 的大小的最佳可能下界是什么？它与 $ n^2 $ 的因子分布有何关系？
• RQ4 是否可以利用 $ \tau_2(n^2) $ 的结构来排除任何 $ n $ 存在完美Mondrian镶嵌的可能性？
• RQ5 无平方因子整数和素因子分解在限制Mondrian Puzzle潜在解数量方面起什么作用？

主要发现

• 本文建立了非平凡下界：$ \left|\{n \leq x : M(n) \neq 0\}\right| \geq \frac{C_\epsilon x \log \log x}{\log x} \left(1 + O_\epsilon\left( \frac{\log \log x}{\log x} \right) \right) $，其中 $ C_\epsilon = \frac{1}{e^\gamma (2\log 2 + \epsilon)} $。
• 该下界表明，满足 $ M(n) \neq 0 $ 的 $ n $ 的自然密度至少为 $ \frac{C_\epsilon \log \log x}{\log x} $，该值趋于零但速度缓慢。
• 证明依赖于一个数论约化：$ \{n \leq x : \forall d < n^2, d|n^2 \Rightarrow d \tau_2^*(d) < n^2 \} \subseteq \{n \leq x : M(n) \neq 0\} $，该结论通过面积约束的反证法推导得出。
• 通过限制在无平方因子的 $ n $ 上，分析显著简化，求和被简化为计数满足 $ p_1 < \cdots < p_r $ 的 $ r $ 元组，其中所有素数均大于 $ 3^r $，且乘积 $ \leq x $，其中 $ r \leq \log_3(g_\epsilon(x^2)) $。
• 该方法利用素数定理和梅滕斯定理来估计此类素数元组的数量，从而得出上述下界。
• 作者得出结论：其方法无法获得形如 $ \epsilon x $ 的下界（对任意 $ \epsilon > 0 $），表明要解决 $ M(n) = 0 $ 永远不会发生的猜想，仍需新思路。