[论文解读] The Monge-Ampere constrained elastic theories of shallow shells

Marta Lewicka, L. Mahadevan+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2013

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 30被引用 8

一句话总结

本论文在薄板极限 $h \to 0$ 下推导了浅壳三维非线性弹性能量的 $γ$-极限，其中壳体深度按 $h^\alpha$ 缩放，$0 < \alpha < 1$，外力按 $h^{\alpha+2}$ 缩放。论文通过新颖的 $W^{2,2}$ 解的逼近与延拓定理，建立了具有 MONGE-AMPÈRE 约束 $\det \nabla^2 v = \det \nabla^2 v_0$ 的新型薄膜模型，该约束源于二阶等距变形。

ABSTRACT

Motivated by the degree of smoothness of constrained embeddings of surfaces in $\mathbb{R}^3$, and by the recent applications to the elasticity of shallow shells, we rigorously derive the $Γ$-limit of 3-dimensional nonlinear elastic energy of a shallow shell of thickness $h$, where the depth of the shell scales like $h^α$ and the applied forces scale like $h^{α+2}$, in the limit when $h o 0$. The main analytical ingredients are two independent results: a theorem on approximation of $W^{2,2}$ solutions of the Monge-Ampère equation by smooth solutions, and a theorem on the matching (in other words, continuation) of second order isometries to exact isometries.

研究动机与目标

• 在 $h \to 0$ 的薄板极限下，严格推导浅壳三维非线性弹性能量的 $γ$-极限，其中深度 $\sim h^\alpha$，力 $\sim h^{\alpha+2}$，且 $0 < \alpha < 1$。
• 建立一个由完全非线性 MONGE-AMPÈRE 约束 $\det \nabla^2 v = \det \nabla^2 v_0$ 控制的极限弹性模型，适用于 $W^{2,2}$-正则的面外位移。
• 证明一个匹配（延拓）定理，将浅壳上的二阶等距变形扩展为精确等距变形，前提是满足适当的正则性条件。
• 提出一个定理，近似 $W^{2,2}$ 解的 MONGE-AMPÈRE 方程，该定理对 $γ$-收敛分析至关重要。
• 通过在薄板极限下引入曲率相关约束，将非欧几里得板的非线性弹性理论框架加以拓展。

提出的方法

• 在指定的缩放范围内，应用 $γ$-收敛技术于三维弹性能量泛函，当 $h \to 0$ 时。
• 通过变形梯度和度量张量的摄动展开，推导出以 $\nabla^2 v_0 - \nabla^2 v$ 表示的一阶应变能密度。
• 对储能函数 $W$ 在单位阵附近进行泰勒展开，提取应变差的二次型 $\mathcal{Q}_3$。
• 将极限能量表示为 $\frac{1}{24} \int_\Omega \mathcal{Q}_2(\nabla^2 v_0 - \nabla^2 v) \, dx$，其中约束 $\det \nabla^2 v = \det \nabla^2 v_0$ 源于等距极限。
• 建立一个关于 MONGE-AMPÈRE 方程解的新型 $W^{2,2}$-逼近定理，其中 $\det \nabla^2 v_0 \equiv c > 0$。
• 证明一个延拓（匹配）定理，表明在 $W^{2,2}$ 正则性下，浅壳上的二阶无穷小等距可被扩展为精确等距。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $h \to 0$ 且 $0 < \alpha < 1$ 时，深度为 $h^\alpha$、外力为 $h^{\alpha+2}$ 的浅壳，其极限弹性能量泛函是什么？
• RQ2 在浅壳非线性弹性理论的 $\gamma$-极限中，MONGE-AMPÈRE 方程 $\det \nabla^2 v = \det \nabla^2 v_0$ 如何作为约束自然出现？
• RQ3 在弹性 $γ$-收敛的背景下，是否可以将 $\det \nabla^2 v_0 \equiv c > 0$ 的 $W^{2,2}$ 解近似为光滑解？
• RQ4 在 $W^{2,2}$ 正则性假设下，是否可以将浅壳上的二阶无穷小等距变形扩展为精确等距变形？
• RQ5 曲率与缩放在决定薄而浅的非欧几里得板的有效弹性能量中的作用是什么？

主要发现

• 极限弹性能量为 $\frac{1}{24} \int_\Omega \mathcal{Q}_2(\nabla^2 v_0 - \nabla^2 v) \, dx$，通过在指定缩放下对三维能量的 $\gamma$-收敛推导得出。
• 约束 $\det \nabla^2 v = \det \nabla^2 v_0$ 在 $W^{2,2}$ 框架下自然地作为二阶等距条件出现，反映了局部面积保持性。
• 提出一个新定理，证明当 $\det \nabla^2 v_0 \equiv c > 0$ 时，$W^{2,2}$ 解可被光滑解逼近，这对 $\gamma$-收敛证明至关重要。
• 建立了匹配定理，表明在 $W^{2,2}$ 正则性下，浅壳上的二阶无穷小等距可被延拓为精确等距，从而支持极限模型的推导。
• 分析表明，当 $0 < \alpha < 1$ 时，弹性能量按 $h^{2\alpha + 2}$ 缩放，且极限能量在 $\gamma$-极限意义下与 $\alpha$ 无关。
• 所推导的模型将 Föppl-von Kármán 理论推广至具有本征曲率的浅壳，极限中包含了完全非线性的曲率约束。