[论文解读] The Monge-Kantorovitch Problem and Monge-Ampere Equation on Wiener Space

Denis Feyel, Ali Süleyman Üstünel|ArXiv.org|Jun 23, 2003

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 13被引用 9

一句话总结

该论文在关于Cameron-Martin范数的有限Wasserstein距离条件下，建立了抽象Wienere空间上概率测度$ \nu_1 $到另一概率测度$ \nu_2 $的循环单调传输映射$ T = I_W + \xi $（其中$ \xi: W \to H $）的存在性与唯一性。关键贡献在于当$ \nu_2 \ll \mu $时，构造了该传输映射的随机逆，并通过Itô-正则化方法求解Monge-Ampère方程，从而利用Girsanov与Clark表示式获得强概率解。

ABSTRACT

We give the solution of the Monge-Kantorovitch problem on the Wiener space for the singular Wasserstein metric which is defined with respect to the distance of the underlying Cameron-Martin space. We show, under the hypothesis that this distance is finite, the existence and the uniquness of the solutions, that they are supported by the graphs of the weak derivatives of H-convex Wiener functionals. then we prove the more general situation, where the measures are not even necessarily absolutely continuous w.r.to the Wiener measure. We give sufficient conditions for the hypothesis about the Wassestein distance is finite with the help of the Girsanov theorem. Finally we give the solutions of the Monge-Ampere equation using the classical Jacobi representation and/or the Ito parametrization of the Wiener space.

研究动机与目标

• 建立在抽象Wienere空间上概率测度的Wasserstein距离$ d_H(\nu_1, \nu_2) $为有限的条件。
• 证明循环单调传输映射$ T = I_W + \xi $（其中$ \xi: W \to H $）将$ \nu_1 $映射到$ \nu_2 $的存在性与唯一性。
• 当$ \nu_2 \ll \mu $时，证明传输映射$ T $是随机可逆的，即存在映射$ S $，使得在$ \nu_1 $-几乎处处有$ S \circ T = I_W $，且在$ \nu_2 $-几乎处处有$ T \circ S = I_W $。
• 通过Itô微积分与正则化技术构造Wienere空间上Monge-Ampère方程的解。
• 证明从Wienere测度出发、具有有限Wasserstein距离的拟不变变换可分解为一个传输映射与一个保持测度的旋转。

提出的方法

• 使用Wasserstein距离$ d_H(\nu_1, \nu_2) = \sqrt{\inf_{\beta} \int_{W \times W} |x - y|_H^2 d\beta(x,y)} $，其中$ \beta $遍历具有边际测度$ \nu_1 $与$ \nu_2 $的耦合。
• 应用Monge-Kantorovitch对偶性，最小化联合测度$ \theta \in \Sigma(\nu_1, \nu_2) $下的代价$ \int |x - y|_H^2 d\theta(x,y) $。
• 当$ \nu_1 = \mu $时，通过$ \mathrm{I\!D}_{2,1} $类中的1-凸函数$ \phi $的梯度构造传输映射$ T = I_W + \xi $，确保$ \xi = \nabla\phi $。
• 利用Girsanov定理与Itô-Clark表示式，将Radon-Nikodym导数$ \Lambda = K / (L \circ T) $表示为指数鞅。
• 通过$ L_{n,t} $的弱收敛性与一致可积性推导出随机逆$ S $，确保在$ \nu_1 $-几乎处处有$ S \circ T = I_W $。
• 应用Itô-正则化技术，以强Itô意义求解Monge-Ampère方程，通过条件期望定义的$ \dot{\alpha}_t $表达解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，抽象Wienere空间上概率测度的Wasserstein距离$ d_H(\nu_1, \nu_2) $为有限？
• RQ2 当$ d_H(\nu_1, \nu_2) < \infty $时，是否存在唯一的循环单调传输映射$ T = I_W + \xi $（其中$ \xi: W \to H $）将$ \nu_1 $映射到$ \nu_2 $？
• RQ3 在何种条件下传输映射$ T $是随机可逆的，即是否存在$ S $使得在$ \nu_1 $-几乎处处有$ S \circ T = I_W $，且在$ \nu_2 $-几乎处处有$ T \circ S = I_W $？
• RQ4 能否通过随机微积分技术在强Itô意义下求解Wienere空间上的Monge-Ampère方程？
• RQ5 Monge-Ampère方程的解能否通过Itô与Clark表示式显式表示？

主要发现

• 在定理6.1的假设条件下，Wasserstein距离$ d_H(\nu_1, \nu_2) $为有限，这些假设要求$ \nu_1 $与$ \nu_2 $相对于Cameron-Martin空间足够正则。
• 当$ d_H(\nu_1, \nu_2) < \infty $时，存在唯一的循环单调传输映射$ T = I_W + \xi $（其中$ \xi: W \to H $），将$ \nu_1 $映射到$ \nu_2 $。
• 当$ \nu_2 \ll \mu $时，传输映射$ T $是随机可逆的，即存在映射$ S $，使得在$ \nu_1 $-几乎处处有$ S \circ T = I_W $，且在$ \nu_2 $-几乎处处有$ T \circ S = I_W $。
• 若$ \nu_1 = \mu $，则传输映射$ T $可表示为$ T = I_W + \nabla\phi $，其中$ \phi \in \mathrm{I\!D}_{2,1} $为1-凸函数。
• Monge-Ampère方程在Itô意义下存在强解：$ K = E[\Lambda^2] \cdot L \circ T \cdot \exp\left( -\int_0^1 \dot{\alpha}_s dT_s - \frac{1}{2} \int_0^1 |\dot{\alpha}_s|^2 ds \right) $，$ \mu $-几乎处处成立，其中$ \dot{\alpha}_t $由Malliavin导数的条件期望给出。
• 序列$ (L_{n,t}) $对所有$ t \in [0,1] $一致可积，确保在$ L^1(\mu) $中弱收敛，从而允许构造极限$ L_t $并证明主定理。