[论文解读] The monodromy representation of Lauricella's hypergeometric function F_C

Yoshiaki Gotō|arXiv (Cornell University)|Mar 7, 2014

Polynomial and algebraic computation参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文利用扭同调群与交形式，构建了 $m$ 个变量的 Lauricella 超几何函数 $F_C$ 的单值表示。它确定了奇点奇点补集的基本群的生成元，并推导出环路变换的显式矩阵表示，表明原点周围的单值变换的特征值为 $(-1)^{m-1}e^{2\pi i(c_1+\cdots+ c_m - a - b)}$ 和 1，其中前者特征子空间为一维，由特定的扭循环张成。

ABSTRACT

We study the monodromy representation of the system $E_C$ of differential equations annihilating Lauricella's hypergeometric function $F_C$ of $m$ variables. Our representation space is the twisted homology group associated with an integral representation of $F_C$. We find generators of the fundamental group of the complement of the singular locus of $E_C$, and give some relations for these generators. We express the circuit transformations along these generators, by using the intersection forms defined on the twisted homology group and its dual.

研究动机与目标

• 确定与 $m$ 个变量 Lauricella 超几何函数 $F_C$ 相关的正则系统 $E_C$ 的单值表示。
• 识别 $E_C$ 奇点补集的基本群的生成元。
• 利用扭同调群上的交形式，表达沿这些生成元的环路变换（单值作用）。
• 表征原点周围单值变换的特征子空间，特别是识别对应于特征值 $(-1)^{m-1}e^{2\pi i(c_1+\cdots+ c_m - a - b)}$ 的一维特征子空间。
• 提供一种不依赖于特定扭循环基的、基于交形式的单值矩阵计算方法。

提出的方法

• 表示空间被构造为与 $F_C$ 的欧拉型积分表示相关的 $m$ 阶扭同调群。
• 奇点补集的基本群的生成元被识别为 $m+1$ 个环路：$\rho_0, \rho_1, \dots, \rho_m$，满足关系 $\rho_i\rho_j = \rho_j\rho_i$（$1 \leq i,j \leq m$），且 $(\rho_0\rho_k)^2 = (\rho_k\rho_0)^2$（$1 \leq k \leq m$）。
• 沿这些环路的环路变换 $\mathcal{M}_i$ 通过扭同调群及其对偶上的交形式表达。
• $\mathcal{M}_k$（$1 \leq k \leq m$）的单值性被证明具有特征值 $\exp(-2\pi i c_k)$ 和 1，每个特征子空间的维数均为 $2^{m-1}$。
• $\mathcal{M}_0$ 通过其特征子空间进行分析：特征值 $(-1)^{m-1}\exp(2\pi i(c_1+\cdots+c_m - a - b))$ 对应一维特征子空间，由扭循环 $D_{1\cdots m}$ 张成，而另一特征子空间为该子空间在交形式下的正交补。
• 通过交数计算单值映射，从而实现不依赖基的矩阵表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $m$ 个变量的 Lauricella $F_C$，系统 $E_C$ 的奇点补集的基本群的生成元是什么？
• RQ2 如何用扭同调群上的交形式表达沿这些生成元的单值变换？
• RQ3 原点周围单值变换 $\mathcal{M}_0$ 的特征子空间结构如何？
• RQ4 如何在不固定特定扭循环基的情况下计算单值表示？
• RQ5 单值变换 $\mathcal{M}_0$ 的精确特征值与特征子空间结构是什么？

主要发现

• 奇点补集的基本群由 $m+1$ 个环路 $\rho_0, \rho_1, \dots, \rho_m$ 生成，满足关系 $\rho_i\rho_j = \rho_j\rho_i$（$1 \leq i,j \leq m$），且 $(\rho_0\rho_k)^2 = (\rho_k\rho_0)^2$（$1 \leq k \leq m$）。
• $\mathcal{M}_k$（$1 \leq k \leq m$）的单值变换具有特征值 $\exp(-2\pi i c_k)$ 和 $1$，每个特征子空间的维数均为 $2^{m-1}$。
• $\mathcal{M}_0$ 的单值变换具有特征值 $(-1)^{m-1}\exp(2\pi i(c_1+\cdots+c_m - a - b))$ 和 $1$，其中前者特征子空间为一维，由扭循环 $D_{1\cdots m}$ 张成。
• $\mathcal{M}_0$ 对应特征值 $1$ 的特征子空间是 $\mathbb{C}D_{1\cdots m}$ 在交形式下的正交补。
• 根据推论 5.7，$\mathcal{M}_0$ 对任一扭循环的作用完全由其与 $D_{1\cdots m}$ 的交数决定。
• 所有生成元的单值矩阵均以交数表示，从而实现了单值表示的基无关计算。