[论文解读] The Morava E-theory of Eilenberg-Mac Lane spaces

Eric Peterson|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2011

Advanced Topology and Set Theory参考文献 6被引用 5

一句话总结

本文建立了对Eilenberg-Mac Lane空间 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 的完成Morava $E$-同调的上同调与形式概形描述，证明其同构于 $\mathbb{C}P^\infty_E$ 的形式群所关联的 $p$-可除群的 $q$-重外幂。该结果通过形变理论对偶性与余代数形式概形，将Ravenel-Wilson对 $K$-同调的计算推广至 $E$-理论。

ABSTRACT

We deform the Ravenel-Wilson computation of the Morava K-homology of Eilenberg-Mac Lane spaces to obtain a similar description of their completed Morava E-homology. This yields both a cohomological description and an interpretation on the level of formal schemes: the scheme associated to the E-cohomology of the space K(Z/p^infty, q) is the qth exterior power of the p-divisible group associated to the versal infinitesimally deformed formal group over Lubin-Tate space.

研究动机与目标

• 提供对Morava $E$-同调长期猜想的严格证明，该猜想描述了Eilenberg-Mac Lane空间的同调结构，将Ravenel-Wilson关于 $K$-同调的结果推广至 $E$-理论。
• 利用形式概形与对偶性，建立 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 的上同调解释。
• 证明 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 的 $E$-上同调对应于 $\mathbb{C}P^\infty_E$ 的 $p$-可除群的 $q$-重外幂。
• 验证形式概形 $(B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q}$ 的存在性，并通过余代数的良基条件，证明其与 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E$ 的同构。

提出的方法

• 通过有限子复形的上极限，构造形式概形 $X_E = \operatorname{Spf}(E^*X)$，其中 $X = K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$。
• 利用 $E_*$-同调与形式概形的Cartier对偶之间的对偶性，将 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 与 $\underline{\operatorname{Hom}}(K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E, \hat{\mathbb{G}}_m)$ 关联。
• 证明 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 作为余代数，同构于 $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$。
• 建立余代数 $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$ 与 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 的‘良基’性质，确保其与形式概形的对偶性。
• 应用Strickland的上极限交换公式，证明 $\operatorname{sch}(\operatorname{colim} U_i) = \operatorname{colim} \operatorname{sch}(U_i)$，从而证明 $(B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q}$ 的存在性。
• 最终得出映射 $(B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q} \to K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E$ 是形式概形之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 完成Morava $E$-同调 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 与 $\mathbb{C}P^\infty_E$ 的 $p$-可除群的 $q$-重外幂之间有何关系？
• RQ2 能否通过余代数的对偶性，将 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 的 $E$-上同调描述为形式概形？
• RQ3 $B\mathbb{Z}/p^\infty_E$ 的 $p$-可除群的 $q$-重外幂是否作为形式概形存在，并代表 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 的 $E$-上同调？
• RQ4 何种条件可确保 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 的余代数结构对应于一个良定义的形式概形？
• RQ5 能否将 $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$ 与 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 之间的同构提升为形式概形之间的同构？

主要发现

• $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 的 $E$-上同调同构于与 $\mathbb{C}P^\infty_E$ 相关的 $p$-可除群的 $q$-重外幂，即 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E \cong (B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q}$。
• 余代数 $E^\vee_*K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 同构于 $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$，确立了与外幂构造的对偶性。
• 形式概形 $(B\mathbb{Z}/p^\infty_E)^{\wedge q}$ 存在，且通过所涉及余代数的良基性质，与 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)_E$ 同构。
• 同调余代数之间的同构诱导出其Cartier对偶之间的同构，从而确认了方案论上的识别。
• 余代数 $\operatorname{Alt}^q E^\vee_*B\mathbb{Z}/p^\infty$ 的上极限对应于其相关形式概形的上极限，验证了构造的正确性。
• 该结果确认了文献中长期存在的预期，包括Strickland附录中的观点，即 $K(\mathbb{Z}/p^\infty, q)$ 的 $E$-同调应通过形变理论对偶性，镜像 $K$-同调的结果。