[论文解读] The Morita Theory of Fusion 2-Categories

Thibault D. Décoppet|arXiv (Cornell University)|Aug 18, 2022

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 7

一句话总结

本文通过证明在融合2-范畴中关于可分代数的相对张量积的存在性，构建了可分代数的莫代他3-范畴，并证明其与可分模2-范畴的3-范畴等价，从而建立了融合2-范畴的莫代他理论。关键结果是通过对偶张量2-范畴与可分模2-范畴，对融合2-范畴之间的莫代他等价性提供了表征，将经典莫代他理论推广至2-范畴设定。

ABSTRACT

We develop the Morita theory of fusion 2-categories. In order to do so, we begin by proving that the relative tensor product of modules over a separable algebra in a fusion 2-category exists. We use this result to construct the Morita 3-category of separable algebras in a fusion 2-category. Then, we go on to explain how module 2-categories form a 3-category. After that, we define separable module 2-categories over a fusion 2-category, and prove that the Morita 3-category of separable algebras is equivalent to the 3-category of separable module 2-categories. As a consequence, we show that the dual tensor 2-category with respect to a separable module 2-category, that is the associated 2-category of module 2-endofunctors, is a multifusion 2-category. Finally, we give three equivalent characterizations of Morita equivalence between fusion 2-categories.

研究动机与目标

• 发展融合2-范畴的完整莫代他理论，将经典莫代他等价从融合1-范畴推广至融合2-范畴。
• 证明在融合2-范畴中，关于可分代数的模的相对张量积的存在性，这是基础性的技术结果。
• 构建可分代数的莫代他3-范畴，并证明其与融合2-范畴上可分模2-范畴的3-范畴等价。
• 证明相对于可分模2-范畴的对偶张量2-范畴是一个多融合2-范畴。
• 提供三种等价的融合2-范畴之间莫代他等价的表征，推广已知的1-范畴情形结果。

提出的方法

• 使用图形演算与2-紧致半单性，证明在融合2-范畴中关于可分代数的模的相对张量积的存在性。
• 定义可分模2-范畴，并确立其在莫代他3-范畴构造中的作用。
• 构建融合2-范畴上模2-范畴的3-范畴，包括2-函子与2-伴随关系。
• 利用2-凝聚单子与对偶性理论分析模2-范畴及其自同态2-范畴。
• 通过二者之间的3-函子，建立可分代数的莫代他3-范畴与可分模2-范畴的3-范畴之间的等价性。
• 将等价性应用于证明：相对于可分模2-范畴的融合2-范畴的对偶张量2-范畴是一个多融合2-范畴。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将融合1-范畴的莫代他理论范畴化至融合2-范畴的设定？
• RQ2 在融合2-范畴中，关于可分代数的模的相对张量积存在的条件是什么？
• RQ3 可分模2-范畴与融合2-范畴中可分代数的莫代他3-范畴之间有何关系？
• RQ4 相对于可分模2-范畴的对偶张量2-范畴的结构是什么？其与莫代他等价的关系如何？
• RQ5 融合2-范畴之间莫代他等价的等价表征是什么？它们如何推广1-范畴情形的结果？

主要发现

• 在任意融合2-范畴中，关于可分代数的模的相对张量积存在，从而支持莫代他3-范畴的构造。
• 可分代数的莫代他3-范畴与融合2-范畴上可分模2-范畴的3-范畴等价。
• 相对于可分模2-范畴的融合2-范畴的对偶张量2-范畴是一个多融合2-范畴。
• 关于可分代数B的双模2-范畴与关于其对偶代数的模2-范畴之间存在张量等价，确立了关键对偶性。
• 从融合2-范畴C到其相对于忠实可分模2-范畴的对偶的对偶的典范张量2-函子是一个等价，确认了莫代他构造的自对偶性质。
• 该理论恢复并推广了已知结果：例如，G-分次融合1-范畴是2Rep(G)中的可分代数，且其莫代他等价在Mod(B1)与Mod(B2)情形下对应于有 braided 融合1-范畴的 Witt 等价。