[论文解读] The Morse index of Chaperon's generating families

Marco Mazzucchelli|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2015

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文建立了切佩朗生成族的莫尔斯指数与相应线性哈密顿流的亚里兹指数之间的深层联系。通过在此背景下发展博特的迭代理论，证明了经典托内利拉格朗日动力学中的莫尔斯指数与亚里兹指数一致，从而通过生成族及其稳定化性质，统一了周期轨道指数的变分与辛几何解释。

ABSTRACT

This is an expository paper devoted to the Morse index of Chaperon's generating families of Hamiltonian diffeomorphisms. After reviewing the construction of such generating families, we present Bott's iteration theory in this setting: we study how the Morse index of a critical point corresponding to an iterated periodic orbit depends on the order of iteration of the orbit. We also investigate the precise dependence of the Morse index from the choice of the generating family associated to a given Hamiltonian diffeomorphism, which will allow to see the Morse index as a Maslov index for the linearized Hamiltonian flow in the symplectic group. We will conclude the survey with a proof that the classical Morse index from Tonelli Lagrangian dynamics coincides with the Maslov index.

研究动机与目标

• 阐明切佩朗生成族的莫尔斯指数与线性哈密顿流的亚里兹指数之间的关系。
• 为生成族发展博特的迭代理论，分析周期轨道迭代过程中莫尔斯指数的演化。
• 证明莫尔斯指数在稳定化意义下与生成族的选择无关，从而将其识别为辛不变量。
• 证明经典托内利拉格朗日动力学中的莫尔斯指数与亚里兹指数一致，统一了辛拓扑中两个关键概念。

提出的方法

• 通过将时间片上的生成函数求和，并利用小时间映射的分解，构造哈密顿微分同胚的切佩朗生成族。
• 应用分裂数与博特指标的理论，分析迭代周期轨道的莫尔斯指数。
• 通过辛几何，利用二次型的稳定化与惯性指标，将莫尔斯指数与亚里兹指数关联起来。
• 采用复辛线性代数，包括广义特征子空间与 $ω$-正交性，分析线性化流。
• 分析惯性指标在限制与商化下的行为，尤其关注海森矩阵核的关系。
• 通过生成族构造，证明经典托内利拉格朗日系统中的莫尔斯指数与亚里兹指数等价。

实验结果

研究问题

• RQ1 在切佩朗生成族的背景下，与迭代周期轨道相关的临界点的莫尔斯指数如何依赖于迭代阶数？
• RQ2 对于给定的哈密顿微分同胚，生成族的莫尔斯指数在多大程度上与生成族的选择无关？
• RQ3 莫尔斯指数能否被识别为辛群中线性哈密顿流的亚里兹指数？
• RQ4 经典托内利拉格朗日动力学中的莫尔斯指数是否与辛几何中的亚里兹指数一致？
• RQ5 分裂数与惯性指标在生成族迭代理论中起什么作用？

主要发现

• 与迭代周期轨道相关的临界点的莫尔斯指数满足一个涉及分裂数的迭代不等式，将博特的经典结果推广至生成族。
• 莫尔斯指数在生成族的稳定化下保持不变，意味着其仅依赖于线性化流的辛结构。
• 生成族的莫尔斯指数与相应线性哈密顿流在辛群中的亚里兹指数一致。
• 经典托内利拉格朗日动力学中的莫尔斯指数被证明等于亚里兹指数，确立了辛几何与变分动力学中一个基本等价关系。
• 在条件 $\lambda\overline{\theta} \neq 1$ 下，线性化单值矩阵的广义特征子空间是 $ω$-正交的，这构成了海森矩阵谱分析的基础。
• 对应于特征值 1 的实广义特征子空间 $\mathds{E}_1$ 是辛子空间，确保了海森矩阵限制的非退化性。