[论文解读] The Morse-Novikov theory of circle-valued functions and noncommutative localization

Michael Färber, Andrew Ranicki|ArXiv.org|Dec 21, 1998

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 2被引用 26

一句话总结

本文在非交换局部化环 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$ 上构建了一个有理链复形，该复形推广了针对取值于圆周的莫尔斯函数的诺维科夫复形。通过使用非交换局部化来解决诺维科夫完成中的奇点问题，作者得到了一个具有有理系数的链复形，该复形能够计数临界点，并给出在同伦类中临界点最小数量的新拓扑下界，从而将诺维科夫不等式推广至非交换基本群的情形。

ABSTRACT

We use noncommutative localization to construct a chain complex which counts the critical points of a circle-valued Morse function on a manifold, generalizing the Novikov complex. As a consequence we obtain new topological lower bounds on the minimum number of critical points of a circle-valued Morse function within a homotopy class, generalizing the Novikov inequalities.

研究动机与目标

• 通过使用非交换局部化，将诺维科夫复形的构造从阿贝尔基本群推广至更一般的情形。
• 在局部化环 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$ 上，为诺维科夫复形提供一个有理提升版本。
• 在给定同伦类中，建立关于取值于圆周的莫尔斯函数的临界点最小数量的新拓扑下界。
• 通过局部化环中的代数不变量，将诺维科夫不等式推广至非交换基本群的情形。

提出的方法

• 通过沿正则值 $x \in S^1$ 的原像 $f^{-1}(x)$ 切割流形 $M$，构造基本区域 $M_N$，从而得到一个钴 bordism $(M_N; N, zN)$。
• 将相对胞射链复形 $C(\widetilde{M}_N, \widetilde{N})$ 视为一个基于的、有限生成的自由 $\mathbb{Z}[\pi]$-模复形，其秩等于 $c_i(f)$。
• 将基本覆盖链复形 $C(\widetilde{M})$ 定义为映射锥 $\mathcal{C}(g - zh)$，其中 $g$ 和 $h$ 分别是由包含映射 $N \to M_N$ 和 $zN \to M_N$ 诱导的。
• 在集合 $\Sigma$ 上对环 $\mathbb{Z}[\pi_1(M)] = \mathbb{Z}[\pi]_\alpha[z, z^{-1}]$ 进行非交换局部化，其中 $\Sigma$ 由形如 $1 - ze$ 的矩阵构成，$e$ 是 $\mathbb{Z}[\pi]$ 上的矩阵，从而得到 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$。
• 利用局部化的普遍性质，将链复形提升至 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$-模，确保微分具有有理系数。
• 应用同伦论构造（引理 2.3），得到一个在 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$ 上的链复形 $\widehat{C}(M,f)$，其微分为有理系数，且其同调与诺维科夫复形同调同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将取值于圆周的莫尔斯函数的诺维科夫复形，提升至任意基本群情形下的非交换局部化环上的有理链复形？
• RQ2 在给定同伦类中，取值于圆周的莫尔斯函数的临界点最小数量是多少？如何通过代数方法对其进行界定？
• RQ3 当基本群为非阿贝尔群且单值自同构非平凡时，诺维科夫数如何推广？
• RQ4 能否利用非交换局部化构造一个避免诺维科夫完成中奇点的诺维科夫复形的有理版本？
• RQ5 局部化链复形 $\widehat{C}(M,f)$ 与无限循环覆盖 $\overline{M}$ 的同伦型之间存在何种关系？

主要发现

• 作者在非交换局部化环 $\Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)]$ 上构造了一个基于的、有限生成的自由链复形 $\widehat{C}(M,f)$，该复形推广了诺维科夫复形。
• 复形 $\widehat{C}(M,f)$ 具有有理微分，即其条目属于局部化映射进入诺维科夫完成的像。
• 复形 $\widehat{C}(M,f)$ 的同调与诺维科夫同调同构，从而保留了原函数的拓扑信息。
• 指标为 $i$ 的临界点数量 $c_i(f)$ 被下界控制为 $\mu_i(M; \Sigma^{-1}\mathbb{Z}[\pi_1(M)])$，即在局部化环上自由解析的最小生成元数。
• 诺维科夫不等式被推广：$c_i(f) \geq b_i(\xi) + q_i(\xi) + q_{i-1}(\xi)$，其中 $\xi = f^*(1) \in H^1(M)$，且该不等式现对任意 $\pi_1(M)$ 成立。
• 该构造适用于任意具有取值于圆周的莫尔斯函数的流形 $M$，无论 $\pi_1(M)$ 是否为阿贝尔群，或单值 $\alpha$ 是否为平凡。