[论文解读] The motivic Adams-Novikov spectral sequence at odd primes over $\mathbb{C}$ and $\mathbb{R}$

Sven-Torben Stahn|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2016

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 14被引用 8

一句话总结

该论文证明，在复数和实数上，经典的 Adams-Novikov 丛序列（ANSS）完全决定了奇素数下的 motivic ANSS，包括其微分和 $\tau$-主 torsion。它表明 motivic 微分与经典微分类似，并且在给定范围内，$\tau$-torsion 仅在经典微分强制存在时才出现，其余情况被排除，例如当 $l=3$ 时，在特定双次数中存在阶为 $l-1$ 的 $\tau$-torsion 的显式例子。结果通过 $\theta$-torsion 扩展至实数情形。

ABSTRACT

We study the motivic Adams-Novikov spectral sequence at an odd prime $l$ over the base fields $\mathbb{C}$ and $\mathbb{R}$. This spectral sequence converges to the stable motivic homotopy groups of the $l$-completed motivic sphere spectrum. We show that the spectral sequence is determined by the topological Adams-Novikov sequence, similar to the situation at the prime two over the base field $\mathbb{C}$.

研究动机与目标

• 理解复数和实数上奇素数下的 motivic Adams-Novikov 丛序列（MANSS）的结构。
• 确定经典 ANSS 计算是否能完全决定 motivic 版本及其微分。
• 分析 motivic 丛序列中 $\tau$-主 torsion 的存在与约束。
• 通过 $\theta$-torsion 将结果扩展至实数情形，并与复数情形进行比较。
• 提供 MANSS 中微分和 torsion 群的显式例子，例如 $\tau$-torsion 阶为 $l-1$ 的情况。

提出的方法

• 使用复数 $\mathbb{C}$ 和实数 $\mathbb{R}$ 上的 motivic 稳定同伦范畴，带有分次 $S^{p,q}$ 和可胞复化谱。
• 应用 Betti 实现 $R: \rSH_{\rC} \to \rSH_{\text{top}}$ 和实实现 $R': \rSH_{\rR} \to \rSH_{C_2}$，以关联 motivic 与经典同伦群。
• 利用 $R$ 和 $R'$ 在同伦群和丛序列上诱导映射的性质，实现 motivic 与经典 ANSS 之间的比较。
• 利用 Cartan-Eilenberg 和代数 Novikov 丛序列，关联 motivic 与经典设定。
• 应用经典 ANSS 完全决定奇素数下 motivic ANSS 的结果，通过微分与 torsion 的比较。
• 使用权重滤过与分次 $(s, t-s)$ 分析 $\tau$-主 torsion 的可能位置，并在低权重下将其排除。

实验结果

研究问题

• RQ1 经典 Adams-Novikov 丛序列在复数和实数上奇素数下，多大程度上决定了 motivic Adams-Novikov 丛序列？
• RQ2 $\tau$-主 torsion 在 motivic ANSS 中可能出现在何处？是否可在某些范围内被排除？
• RQ3 经典 ANSS 中的微分如何映射到 motivic 设置中？它们是否是 $\tau$-torsion 的唯一来源？
• RQ4 实现函子 $R$ 和 $R'$ 在关联 motivic 与经典同伦群中起什么作用？
• RQ5 是否存在 motivic ANSS 中 $\tau$-torsion 或 $\theta$-torsion 的显式例子？它们的阶与双次数是什么？

主要发现

• 在复数上对奇素数，经典 ANSS 完全决定了 motivic ANSS 及其微分，如命题 5.6 所示。
• 在复数上，对于固定的 $s'$，在权重 $\leq \frac{s'}{2}+1$ 范围内，$\tau$-主 torsion 被排除，除非被经典微分强制存在。
• 在茎 $t-s = 2l^3 - 2l^2 - 3$ 中，存在一个阶为 $l-1$ 的 $\tau$-torsion 群，且当 $l=3$ 时有显式例子：在双次数 $(s,t-s,u) = (7,33,20)$ 处，一个永久循环被 $\tau^2$ 消去。
• 在实数上，相同结果成立，但 $\tau$ 被 $\theta$ 取代，且 $\theta$-torsion 通过实实现函子和权重分析类似地受到约束。
• 元素 $\theta$ 是 motivic ANSS 在 $\mathbb{R}$ 上的永久循环，且 $\theta \beta_1$ 的权重为 0，因此 $\theta \beta_1$ 在丛序列中存活。
• 当 $l=3$ 时，$\theta \beta_1$ 在 $\rpi_{2l-3,0}(S_l^\text{\wedge})$ 中生成一个 $\bZ/l \times \bZ/l$ 群，表明 motivic 同伦群中存在超越经典同伦群的非平凡元素。