[论文解读] The Mpemba effect in the Descartes protocol: A time-delayed Newton's law of cooling approach

Andres Santos|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2026

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一句话总结

该论文在存在时滞的牛顿冷却框架下，使用 Descartes 的三储水协议分析直接与反向 Mpemba 效应，推导 hotter 样本比 cooler 样本更快放松的精确与近似条件。

ABSTRACT

We investigate the direct and inverse Mpemba effects within the framework of the time-delayed Newton's law of cooling by introducing and analyzing the Descartes protocol, a three-reservoir thermal scheme in which each sample undergoes a single-step quench at different times. This protocol enables a transparent separation of the roles of the delay time $τ$, the waiting time $t_{ ext{w}}$, and the normalized warm temperature $ω$, thus providing a flexible setting to characterize anomalous thermal relaxation. For instantaneous quenches, exact conditions for the existence of the Mpemba effect are obtained as bounds on $ω$ for given $τ$ and $t_{ ext{w}}$. Within those bounds, the effect becomes maximal at a specific value $ω=\widetildeω(t_{ ext{w}})$, and its magnitude is quantified by the extremal value of the temperature-difference function at this optimum. Accurate and compact approximations for both $\widetildeω(t_{ ext{w}})$ and the maximal magnitude $ ext{Mp}(t_{ ext{w}})$ are derived, showing in particular that the absolute maximum at fixed $τ$ is reached for $t_{ ext{w}}=τ$. A comparison with a previously studied two-reservoir protocol reveals that, despite its additional control parameter, the Descartes protocol yields a smaller maximal magnitude of the effect. The analysis is extended to finite-rate quenches, where strict equality of bath conditions prevents a genuine Mpemba effect, although an approximate one survives when the bath time scale is sufficiently short. The developed framework offers a unified and analytically tractable approach that can be readily applied to other multi-step thermal protocols.

研究动机与目标

• 通过时滞冷却框架动机化并表征异常的热松弛过程。
• 引入 Descartes 协议作为三储水设置，以将延迟、等待和中间温度效应分离。
• 推导直接 Mpemba 效应的精确与近似条件，并量化其幅度。
• 将该框架扩展到有限速率的淬火，并与现有的两储水协议进行比较。

提出的方法

• 使用时滞牛顿冷却定律：dot{T}(t) = -λ [T(t-τ) - T_b(t)]。
• 在 Descartes 协议中实现三个温度 T_hot、T_warm、T_cold，以及单步淬火。
• 求解协议以在准指数函数 E(t) 的形式获得 T_A(t) 和 T_B(t)。
• 定义归一化温度 θ(t) = (T(t) - T_cold)/(T_hot - T_cold) 且差 Δ = θ_A - θ_B。
• 推导 Mpemba 存在性条件：e^{-κ0 t_w} < ω < E(t_w)。
• 给出在实际近似下的最优 ω̃(t_w) 与最大幅度 Mp(t_w)。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 Descartes 协议下，延迟 τ、等待时间 t_w 与归一化暖温度 ω 的精确条件是什么，以使直接 Mpemba 效应发生？
• RQ2 在该协议下，Mpemba 效应能达到的最大幅度有多大，哪些控制值（t_w, ω）能使其最大化？
• RQ3 在可实现的 Mpemba 最大幅度方面，Descartes 协议与两储水协议相比有何差异？
• RQ4 当淬火具有有限速率而非瞬时时，行为如何？

主要发现

• Mpemba 效应存在当且仅当 e^{-κ0 t_w} < ω < E(t_w)。
• 在固定 τ 时，最大效应发生在 t_w = τ，且最优 ω̃(t_w) 由耦合方程给出；拐点时间满足 t̃_×(t_w) < τ。
• 在 t_w = τ 时的最大幅度为 Mp(t_w) ≈ (1 − τ − κ0^{-1})^2 / [(2 − τ)(1 − κ0(1 − κ0 τ))]。
• Descartes 协议的最大 Mpemba 幅度比同一 τ 的两储水协议要小。
• 对于有限速率的淬火，浴条件相等可能阻止真正的 Mpemba 效应，但若浴的时间尺度较短，仍可能存在近似的效应。