[论文解读] The MSO+U Theory of (N,<) Is Undecidable

Mikołaj Bojańczyk, Paweł Parys+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

semigroups and automata theory参考文献 6被引用 14

一句话总结

本文证明了在结构 (N,<) 上，即自然数的通常序关系下，MSO+U——一阶单峰逻辑扩展了无界量词——是不可判定的。该结果解决了长期悬而未决的问题，表明在无限字上也存在不可判定性，且无需依赖无限树或集合论公理。

ABSTRACT

We consider the logic MSO+U, which is monadic second-order logic extended with the unbounding quantifier. The unbounding quantifier is used to say that a property of finite sets holds for sets of arbitrarily large size. We prove that the logic is undecidable on infinite words, i.e. the MSO+U theory of (N,<) is undecidable. This settles an open problem about the logic, and improves a previous undecidability result, which used infinite trees and additional axioms from set theory.

研究动机与目标

• 解决关于 MSO+U 逻辑在结构 (N,<) 上是否可判定的开放问题。
• 在无限字上建立 MSO+U 理论的不可判定性，即在结构 (N,<) 上。
• 改进先前依赖无限树和额外集合论公理的不可判定性结果。

提出的方法

• 将单峰第二阶逻辑（MSO）扩展为包含无界量词 U，该量词断言某一性质对任意大小的有限集合均成立。
• 分析在直线序 (N,<) 上 MSO+U 的表达能力，重点关注无限字上的可定义性与表达力。
• 运用模型论技术分析可定义集合及其在无界量词下的封闭性质。
• 构建归约或解释，以在 (N,<) 上的 MSO+U 中模拟不可判定问题，利用无界量词的表达能力。
• 证明无界量词使得在结构 (N,<) 中可编码不可判定性质，从而导致整个理论的不可判定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 MSO+U 在 (N,<) 上的理论是可判定还是不可判定？
• RQ2 是否可以在不依赖无限树或集合论公理的前提下，在无限字上建立 MSO+U 的不可判定性？
• RQ3 在 (N,<) 背景下，无界量词 U 的表达能力如何？

主要发现

• MSO+U 在 (N,<) 上的理论是不可判定的，解决了逻辑与自动机理论中长期悬而未决的开放问题。
• 该不可判定性结果适用于无限字，具体而言在结构 (N,<) 上成立，且无需额外的集合论公理。
• 该证明通过避免使用无限树，直接在直线序 (N,<) 上工作，从而改进了先前的结果。
• 无界量词显著增强了 MSO 的表达能力，使得在 (N,<) 背景下可编码不可判定性质。
• 该结果表明，即使在简单的结构 (N,<) 上，向 MSO 添加无界量词也会导致逻辑不再可判定。