[论文解读] The Mukai pairing, I: the Hochschild structure

Andrei Căldăraru|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2003

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用 73

一句话总结

本文在光滑紧致复流形、轨道丛及Deligne-Mumford堆叠上引入了Hochschild同调的广义Mukai配对，证明了其函子性、与Chern示性类的相容性以及伴随性。结果表明，Hochschild同调是Mukai型结构的自然目标，推广了K3曲面上的经典结果，并为镜像对称与轨道丛上同调理论奠定了基础。

ABSTRACT

We study the Hochschild structure of a smooth space or orbifold, emphasizing the importance of a pairing defined on Hochschild homology which generalizes a similar pairing introduced by Mukai on the cohomology of a K3 surface. We discuss those properties of the structure which can be derived without appealing to the Hochschild-Kostant-Rosenberg isomorphism and Kontsevich formality, namely: -- functoriality of homology, commutation of push-forward with the Chern character, and adjointness with respect to the generalized pairing; -- formal Hirzebruch-Riemann-Roch and the Cardy condition from physics; -- invariance of the full Hochschild structure under Fourier-Mukai transforms. Connections with homotopy theory and TQFT's are discussed in an appendix. A separate paper treats consequences of the HKR isomorphism. Applications of these results to the study of a mirror symmetric analogue of Chen-Ruan's orbifold product will be presented in a future paper.

研究动机与目标

• 将Mukai的配对及K3曲面上的上同调结构推广至包括轨道丛与Deligne-Mumford堆叠在内的广义光滑紧致空间。
• 确立Hochschild同调作为广义Mukai结构的自然目标，取代导出范畴框架下的奇异上同调。
• 证明积分变换诱导的同调映射的函子性，确保与范畴复合的一致性。
• 通过伴随函子与Serre对偶性，范畴化地定义并刻画从K-理论到Hochschild同调的Chern示性类映射。
• 为未来在镜像对称与轨道丛上同调中的应用（特别是Chen-Ruan积的类比）奠定基础框架。

提出的方法

• 将Hochschild上同调 $HH^*(X)$ 定义为 $\operatorname{Hom}_{{\mathbf{D}}_{\mathrm{coh}}^{b}(X\times X)}(\mathcal{O}_\Delta, \mathcal{O}_\Delta[i])$，将Hochschild同调 $HH_*(X)$ 定义为 $\operatorname{Hom}_{{\mathbf{D}}_{\mathrm{coh}}^{b}(X\times X)}(\Delta_!\mathcal{O}_X[i], \mathcal{O}_\Delta)$，利用Grothendieck-Serre对偶性。
• 在 $HH_*(X)$ 上引入广义Mukai配对，定义为非退化的分次配对，扩展了Mukai在K3曲面上的原始配对。
• 通过Serre对偶性下对偶映射 $\Phi^\dagger$ 的右伴随性，构造积分变换 $\Phi: \mathbf{D}_{\mathrm{coh}}^b(X) \to \mathbf{D}_{\mathrm{coh}}^b(Y)$ 诱导的映射 $\Phi_*: HH_*(X) \to HH_*(Y)$。
• 将Chern示性类 $\operatorname{ch}({\mathscr{F}}) \in HH_0(X)$ 定义为单位在诱导映射 $\Phi_*: HH_*(\mathrm{pt}) \to HH_*(X)$ 下的像，利用迹相容性。
• 证明Chern示性类与上推保持交换性，并在Mukai配对下证明 $\Phi_*$ 与 $\Psi_*$ 的伴随性。
• 利用范畴对偶性与迹公式，验证 $\operatorname{Tr}_{X\times X}(\operatorname{ch}({\mathscr{F}}) \circ \nu) = \operatorname{Tr}_X(\nu_\mathscr{F})$，将定义与自然变换联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将K3曲面上Mukai的配对及上同调结构推广至任意光滑紧致复流形与轨道丛？
• RQ2 为何Hochschild同调比奇异上同调更适合作为广义Mukai结构的自然目标？
• RQ3 在积分变换复合下，诱导同调映射的正确函子行为是什么？
• RQ4 如何范畴化地定义从K-理论到Hochschild同调的Chern示性类，并与配对相容？
• RQ5 广义Mukai配对与导出范畴中欧拉配对之间有何关系？

主要发现

• Hochschild同调上的广义Mukai配对是非退化的，自然推广了K3曲面上Mukai的原始配对。
• 由积分变换 $\Phi$ 诱导的映射 $\Phi_*$ 是函子性的：$(\Phi \circ \Psi)_* = \Phi_* \circ \Psi_*$，且 $\operatorname{Id}_* = \operatorname{Id}$。
• Chern示性类 $\operatorname{ch}({\mathscr{F}})$ 通过伴随构造在 $HH_0(X)$ 中良好定义，并满足与自然变换的迹相容性。
• $\Phi_*$ 与Chern示性类可交换：$\Phi_*$ 保持了同调实现下Mukai向量的结构。
• 伴随性成立：若 $\Phi$ 是 $\Psi$ 的左伴随，则对任意 $v \in HH_*(Y)$, $w \in HH_*(X)$，有 $\langle \Phi_*v, w \rangle_X = \langle v, \Psi_*w \rangle_Y$。
• Hirzebruch-Riemann-Roch公式在此设定下成立：$\langle v({\mathscr{E}}), v({\mathscr{F}}) \rangle = \chi({\mathscr{E}}, {\mathscr{F}})$，其中 $\chi$ 是 $K_0(X)$ 上的欧拉配对。