[论文解读] The Multi-Dimensional Hardy Uncertainty Principle and its Interpretation in Terms of the Wigner Distribution; Relation With the Notion of Symplectic Capacity

Maurice A. de Gosson, Luef, Franz|ArXiv.org|Mar 6, 2008

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文通过辛对角化方法将哈代的不确定性原理推广至n维相空间，证明了函数及其傅里叶变换的高斯衰减估计与威格纳分布的相应衰减界等价。关键结果表明，此类衰减意味着关联相空间椭球的辛容量至少为半普朗克常数，从而以几何的、辛不变的形式表述了量子不确定性。

ABSTRACT

We extend Hardy's uncertainty principle for a square integrable function and its Fourier transform to the multidimensional case using a symplectic diagonalization. We use this extension to show that Hardy's uncertainty principle is equivalent to a statement on the Wigner distribution of the function. We give a geometric interpretation of our results in terms of the notion of symplectic capacity of an ellipsoid. Furthermore, we show that Hardy's uncertainty principle is valid for a general Lagrangian frame of the phase space. Finally, we discuss an extension of Hardy's theorem for the Wigner distribution for exponentials with convex exponents.

研究动机与目标

• 通过辛技巧将哈代的不确定性原理推广至n维相空间。
• 建立函数及其傅里叶变换的衰减估计与威格纳分布相应衰减条件之间的等价性。
• 以相空间椭球的辛容量为工具，为不确定性原理提供几何解释。
• 将哈代定理的有效性扩展至相空间中的任意拉格朗日子空间，而不仅限于标准的位置-动量基。
• 将不确定性原理推广至具有凸指数衰减的威格纳分布，超越高斯边界。

提出的方法

• 利用分块对角矩阵的辛对角化，将n维哈代问题约化为标准形式。
• 采用实变量方法（而非复分析）证明高斯型衰减下的n维哈代不确定性原理。
• 定义威格纳分布，并从函数及其傅里叶变换的衰减中推导其衰减估计。
• 引入辛容量的概念，并证明威格纳椭球 $\mathcal{W}: x^T A x + p^T B p \leq \hbar$ 的容量至少为 $\frac{1}{2}h$。
• 利用约翰椭球定理及辛容量的单调性，为凸子水平集导出容量的下界。
• 将霍弗-泽亨德辛容量与威格纳椭球边界上的周期哈密顿轨道联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用辛几何将哈代不确定性原理从一维推广至n维？
• RQ2 函数及其傅里叶变换的衰减估计与该函数威格纳分布的衰减之间存在何种精确关系？
• RQ3 不确定性原理能否以辛不变量（如辛容量）的形式重新表述？
• RQ4 哈代不确定性原理是否对相空间中的任意拉格朗日子空间成立，而不仅限于标准的位置-动量基？
• RQ5 不确定性原理能否推广至具有凸指数衰减的威格纳分布，而不仅限于高斯边界？

主要发现

• n维哈代不确定性原理等价于威格纳分布 $W\psi(x,p)$ 在无穷远处以 $\mathcal{O}(e^{-\frac{1}{\hbar}(x^T A x + p^T B p)})$ 的速率衰减。
• 相空间椭球 $\mathcal{W}: x^T A x + p^T B p \leq \hbar$ 的辛容量至少为 $\frac{1}{2}h$，即半普朗克常数。
• 该容量下界对所有辛容量均成立，且是威格纳分布衰减条件的直接推论。
• 若 $Q$ 为一致凸函数且满足 $\lambda_Q \leq 2$，则子水平集 $\{z : Q(z) \leq \hbar\}$ 的约翰椭球的辛容量至少为 $\frac{1}{2}h$。
• 对于任意位于超曲面 $Q(z) = \hbar$ 上的周期哈密顿轨道 $\gamma$，其作用积分 $\oint_\gamma p\,dx \geq \frac{1}{2}h$。
• 即使对于凸指数衰减情形，哈代原理与威格纳分布衰减之间的等价性依然成立，从而将适用范围扩展至非高斯态。