[论文解读] The multiset dimension of graphs

Rinovia Simanjuntak, Siagian, Presli+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2017

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 2被引用 14

一句话总结

本文引入了图的多重集维数这一新概念，作为度量维数的一种新颖变体，其中顶点通过其到一个分辨集的多重集距离来区分，而非有序距离元组。主要贡献在于证明任意非路径图的多重集维数至少为3，并给出了两个无限族——当 $n \geq 6$ 时的环 $C_n$ 和当 $m \geq 3, n \geq 2$ 时的网格图 $P_m \square P_n$——其多重集维数恰好为3，达到该下限值。

ABSTRACT

We introduce a variation of metric dimension, called the multiset dimension. The representation multiset of a vertex $v$ with respect to $W$ (which is a subset of the vertex set of a graph $G$), $r_m (v|W)$, is defined as a multiset of distances between $v$ and the vertices in $W$. If $r_m (u |W) eq r_m(v|W)$ for every pair of distinct vertices $u$ and $v$, then $W$ is called an m-resolving set of $G$. If $G$ has an m-resolving set, then the cardinality of a smallest m-resolving set is called the multiset dimension of $G$, denoted by $md(G)$. If $G$ does not contain an m-resolving set, we write $md(G) = \infty$. In this paper we present basic results on the multiset dimension. We obtain some (sharp) bounds for multiset dimension of arbitrary graphs in term of its metric dimension, order, or diameter. We provide some necessary conditions for a graph to have finite multiset dimension, with an example of an infinite family of graphs where those necessary conditions are also sufficient. We also show that the multiset dimension of any graph other than a path is at least $3$ and finally we provide two families of graphs having the multiset dimension $3$.

研究动机与目标

• 形式化并研究一种基于顶点到分辨集的多重集距离的新图不变量——多重集维数。
• 确定图具有有限多重集维数的必要与充分条件。
• 在度量维数、阶数和直径的术语下，建立多重集维数的紧致界。
• 刻画多重集维数为3的图，特别关注环和网格图。
• 探讨影响有限多重集分辨集存在的结构与对称性约束。

提出的方法

• 将顶点 $v$ 关于子集 $W \subseteq V(G)$ 的表示多重集定义为 $r_m(v|W)$，即 $v$ 到 $W$ 中所有顶点的距离构成的多重集。
• 引入 m-分辨集 $W$，即对所有不同的 $u,v \in V(G)$，满足 $r_m(u|W) \neq r_m(v|W)$，从而通过多重集实现唯一标识。
• 将多重集维数 $md(G)$ 定义为满足上述条件的最小集合大小，若不存在此类集合则 $md(G) = \infty$。
• 通过结构分析图（特别是路径、环和网格图）并结合逐案的距离多重集枚举，验证 m-分辨集的存在性。
• 运用对称性论证与自同构性质，证明某些图（如完全图、小对称图）无法具有有限的多重集维数。
• 利用已知的度量维数结果，并将其推广至多重集设定，证明 $md(G) \geq \dim(G)$，并确定等式成立的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 图具有有限多重集维数的必要与充分条件是什么？
• RQ2 多重集维数与图的经典度量维数、阶数和直径之间有何关系？
• RQ3 非路径图的最小可能多重集维数是多少？哪些图达到该最小值？
• RQ4 哪些图族（如环和网格图）的多重集维数恰好为3？
• RQ5 能否对特定图类（如树或凯莱图）的多重集维数进行刻画？

主要发现

• 图 $G$ 的多重集维数至少等于其度量维数，即 $md(G) \geq \dim(G)$，且对某些图存在等式成立的情况。
• 路径图 $P_n$ 的多重集维数为1，且它是唯一具有多重集维数1的图。
• 所有非路径图的多重集维数至少为3，从而确立了该下限的紧致性。
• 当 $n \geq 6$ 时，环图 $C_n$ 的多重集维数恰好为3，通过显式构造大小为3的 m-分辨集得以证明。
• 当 $m \geq 3, n \geq 2$ 时，网格图 $P_m \square P_n$ 的多重集维数恰好为3，其显式 m-分辨集为 $W = \{v_{1,1}, v_{1,2}, v_{3,1}\}$。
• 存在无限多组图，其有限多重集维数的必要条件同时也是充分条件，例如某些树族和对称图族。