[论文解读] The Multivariate Hawkes Process in High Dimensions: Beyond Mutual Excitation

Shizhe Chen, Ali Shojaie+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 16, 2017

Point processes and geometric inequalities参考文献 66被引用 46

一句话总结

本文提出了一种高维多变量霍克斯过程的新型分析框架，其适用范围超越了互激发和线性连接函数。通过利用薄化过程表示法与耦合构造，作者推导出二阶统计量的浓度不等式，从而实现对抑制性与非线性动力学下交叉协方差估计器的严格分析。

ABSTRACT

The Hawkes process is a class of point processes whose future depends on their own history. Previous theoretical work on the Hawkes process is limited to a special case in which a past event can only increase the occurrence of future events, and the link function is linear. However, in neuronal networks and other real-world applications, inhibitory relationships may be present, and the link function may be non-linear. In this paper, we develop a new approach for investigating the properties of the Hawkes process without the restriction to mutual excitation or linear link functions. To this end, we employ a thinning process representation and a coupling construction to bound the dependence coefficient of the Hawkes process. Using recent developments on weakly dependent sequences, we establish a concentration inequality for second-order statistics of the Hawkes process. We apply this concentration inequality to cross-covariance analysis in the high-dimensional regime, and we verify the theoretical claims with simulation studies.

研究动机与目标

• 填补霍克斯过程分析中仅限于互激发与线性连接函数的理论空白。
• 实现对具有抑制性相互作用与非线性响应函数的霍克斯过程的理论分析。
• 开发一种通用工具，用于研究高维多变量霍克斯过程中的二阶统计量。
• 在弱依赖假设下，为交叉协方差估计器建立浓度不等式。
• 为高维设置下交叉协方差函数平滑估计器提供理论保证。

提出的方法

• 使用薄化过程表示法建模霍克斯过程，无需依赖簇过程构造。
• 构建耦合过程以界定霍克斯过程的依赖系数。
• 应用近期关于弱依赖序列的理论，推导出二阶统计量的浓度不等式。
• 采用核平滑法估计霍克斯过程的交叉协方差函数。
• 在离散化网格上使用并集界，建立估计器在有界区间上的一致收敛性。
• 优化带宽 $ h $ 以平衡偏差与方差，实现 $ T^{-\frac{r+0.5}{5r+2}} $ 的收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不依赖互激发与线性连接函数假设的前提下，为霍克斯过程的二阶统计量建立理论保证？
• RQ2 当存在抑制效应时，如何界定多变量霍克斯过程的依赖结构？
• RQ3 在高维设置下，交叉协方差函数平滑估计器的收敛速率是多少？
• RQ4 是否可以在非线性与抑制性动力学下为霍克斯过程推导出浓度不等式？
• RQ5 与现有方法相比，所提出方法在应对非线性与抑制性相互作用方面的鲁棒性如何？

主要发现

• 在不依赖互激发或线性连接函数的前提下，为霍克斯过程的二阶统计量建立了一项新的浓度不等式。
• 交叉协方差函数平滑估计器的收敛速率为 $ \mathcal{O}(T^{-\frac{r+0.5}{5r+2}}) $，其中 $ r \geq 1 $。
• 在区间 $ [-B, B] $ 上，估计交叉协方差函数的统一误差界为 $ \mathcal{O}(T^{-\frac{r+0.5}{5r+2}}) $，且以高概率成立。
• 该方法在所有 $ p \times p $ 交叉协方差对上实现了高概率的一致收敛，其概率界随 $ T^{r/(5r+2)} $ 指数衰减。
• 理论框架对抑制效应具有鲁棒性，通过反例表明：尽管标准稳定性假设不成立，过程仍保持稳定。
• 数值实验验证了理论收敛速率，并证实了估计器在高维设置下的性能表现。