[论文解读] The Mutual-Visibility Problem In Directed Graphs

Vanja Stojanović|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2026

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一句话总结

本论文将互可见性扩展到有向图，推导了有向无环图（DAG）与有向环的精确 μ(D)，通过 Paley 对环路的研究证明对锦标赛有无界 μ，并证明计算 μ(D) 的 NP-harditude，同时验证为多项式时间。

ABSTRACT

The study of mutual visibility has traditionally focused on undirected graphs, asking for the maximum number of vertices that can communicate via shortest paths without intermediate interference from other set members. In this paper, we extend this concept to directed graphs, establishing fundamental results for several graph classes. We prove that for Directed Acyclic Graphs (DAGs), the mutual-visibility number $μ(D)$ is always 1, and for directed cycles of length $n\ge3$, it is strictly 2. In contrast, we demonstrate that tournaments can support arbitrarily large mutual-visibility sets; specifically, using properties of Paley tournaments, we show that $μ(T)$ grows linearly with the size of the tournament. On the algorithmic side, we show that while verifying a candidate set is polynomial-time solvable ($O(|S|(|V|+|A|))$), the problem of determining $μ(D)$ is NP-hard for general digraphs. We also analyze the impact of strong bridges and strongly connected components on the upper bounds of $μ(D)$.

研究动机与目标

• 研究有向图中互可见性的动机，超越无向图的设定。
• 表征基本有向图类（DAG、循环、锦标赛）中的互可见性数 μ(D)。
• 探讨强连通分量和强桥对 μ(D) 的影响。
• 建立算法复杂性：验证是多项式时间，求解 μ(D) 是 NP-hard。

提出的方法

• 将互可见性的定义从无向图推广到有向图（互可见集合、全/外/对偶变体）。
• 通过凝聚图对 SCC 进行分析，以有向图的分量值界定 μ(D) 的上界（μ(D)=max μ(C)）。
• 针对 DAGs 的结构证明（μ(D)=1）和有向循环（μ(C_n)=2）的结论。
• 利用 Paley 锦标赛构造来展示任意大的 μ；利用概率/准随机性质。
• 算法化化简与复杂性结果：验证多项式；通过从无向互可见性降维得到 NP-hard；对强桥的分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 基本有向图族（DAG、有向循环、锦标赛）中 μ(D) 的值是多少？
• RQ2 强连通分量与凝聚图如何约束或决定 μ(D)？
• RQ3 μ(D) 是否可高效界定或计算，其对一般有向图的计算复杂性为何？
• RQ4 强桥对互可见集合的结构与规模有何影响？
• RQ5 变体（全、外、对偶）在有向图中是否呈现不同的行为或界限？

主要发现

• 对于有向无环图，μ(D)=1。
• 对于有向环 C_n（n≥3），μ(C_n)=2。
• 锦标赛可以承载任意大的互可见集合；Paley 锦标赛在适当的 q 上给出 μ(P_q)≥k 的结论。
• μ(D) 等于其强连通分量中最大 μ(C) 的值；任何互可见集合都位于单一 SCC 内。
• 对于一般有向图，求解 μ(D) 是 NP-hard；给定集合的验证是多项式时间（对无权图，O(|S|(|V|+|A|))）。
• 强桥数量 β(D) 与 μ(D) 之间不存在线性相关性；μ 可能在少量桥下也很大，反之亦然。