[论文解读] The Necessary and Sufficient Conditions for Transformation from Dirac Representation to Foldy-Wouthuysen Representation

В. П. Незнамов|ArXiv.org|Apr 2, 2008

Matrix Theory and Algorithms被引用 3

一句话总结

本文確立了在相對論量子力學中從狄拉克表象轉換至福爾迪-伍思海森（Foldy-Wouthuysen, FW）表象的必要與充分條件。研究證明，哈密頓量必須轉換為分塊對角形式，而波函數變換規律（由公式(6)給出）則是充分條件。研究指出，文獻[14]–[17]中先前提出的酉變換不滿足充分性條件，因此並非有效的FW變換，並為識別正確的FW類變換提供了嚴謹的判據。

ABSTRACT

The paper describes conditions for transformation from the Dirac representation to the Foldy-Wouthuysen representation. The necessary condition is the block-diagonal transformation of Hamiltonian relative to the upper and lower components of the wave function. The sufficient condition is the wave function transformation law described by relation (6). It has been demonstrated that the unitary transformations offered by the authors of the papers [14], [15], [16], [17] do not satisfy the sufficiency condition (6) and, hence, they are not the Foldy-Wouthuysen transformations. In applications, the matrix elements of any operator in the FW representation can be calculated, according to (6), using the normalized two-component wave functions in the Dirac representation known for the given problem.

研究动机与目标

• 定義從狄拉克表象轉換至福爾迪-伍思海森表象時，數學條件的精確表述，以確保變換的有效性。
• 解決文獻中關於哪些酉變換可被視為真正FW變換的模糊性問題。
• 提供一個判據，以區分符合所需波函數變換規律的正確FW變換與不符合者。
• 實現利用狄拉克表象中的歸一化兩分量波函數，準確計算FW表象中矩陣元的目標。

提出的方法

• 推導必要條件：哈密頓量在狄拉克旋量的上下分量下必須轉換為分塊對角形式。
• 透過公式(6)所表達的波函數變換規律，識別出充分條件，該規律規定了兩分量旋量如何變換。
• 將推導出的條件應用於評估文獻[14]–[17]中先前提出的酉變換。
• 利用狄拉克表象中的歸一化兩分量波函數，透過變換規律(6)計算FW表象中的矩陣元。
• 分析變換算符的結構，以驗證其是否符合充分性條件。
• 證明，即使變換是酉的，若不滿足公式(6)，也不能被視為正確的FW變換。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些條件必須滿足，才能使一個酉變換被視為從狄拉克表象出發的有效福爾迪-伍思海森變換？
• RQ2 為何某些先前被標記為FW變換的酉變換未能符合真正FW變換的標準？
• RQ3 如何利用狄拉克表象中的波函數一致地計算FW表象中的矩陣元？
• RQ4 波函數變換規律在定義FW表象中扮演何種精確角色？
• RQ5 能否建立一個系統性的判據，以區分文獻中正確與錯誤的FW變換？

主要发现

• 在變換後基底下，哈密頓量的分塊對角結構是有效FW變換的必要條件。
• 由公式(6)所描述的波函數變換規律，是將變換分類為正確FW變換的充分條件。
• 文獻[14]–[17]中提出的酉變換不滿足充分性條件(6)，因此並非有效的FW變換。
• 只要應用變換規律(6)，即可利用狄拉克表象中的歸一化兩分量波函數可靠地計算FW表象中的矩陣元。
• 本研究確立了一個明確且數學上嚴謹的判據，用以區分正確與錯誤的FW變換，從而解決了文獻中長期存在的模糊性問題。
• 結果明確指出，僅具備酉性不夠資格成為FW變換——必須嚴格遵守特定的波函數變換規律(6)。