[论文解读] The Need for Structure in Quantum Speedups

Scott Aaronson, Andris Ambainis|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 21

一句话总结

本文证明，对于具有足够多输出的对称问题（如碰撞问题和元素互异性问题），量子查询复杂度至少为经典随机查询复杂度的七分之一根，从而解决了Watrous（2002年）的猜想。此外，本文进一步猜想：每个有界的低次多项式都具有高度影响的变量，这意味着每个T-查询的量子算法都可以在大多数输入上被T^O(1)次查询的经典算法模拟，从而限制了在缺乏结构的情况下实现超多项式量子加速的可能性。

ABSTRACT

Is there a general theorem that tells us when we can hope for exponential speedups from quantum algorithms, and when we cannot? In this paper, we make two advances toward such a theorem, in the black-box model where most quantum algorithms operate. First, we show that for any problem that is invariant under permuting inputs and outputs (like the collision or the element distinctness problems), the quantum query complexity is at least the 7th root of the classical randomized query complexity. (An earlier version of this paper gave the 9th root.) This resolves a conjecture of Watrous from 2002. Second, inspired by recent work of O'Donnell et al. (2005) and Dinur et al. (2006), we conjecture that every bounded low-degree polynomial has a "highly influential" variable. Assuming this conjecture, we show that every T-query quantum algorithm can be simulated on most inputs by a poly(T)-query classical algorithm, and that one essentially cannot hope to prove P!=BQP relative to a random oracle.

研究动机与目标

• 确定量子算法在何种条件下可以相对于经典算法实现指数级加速。
• 在黑箱查询模型中，形式化结构在量子加速中的作用。
• 解决Watrous（2002年）的猜想：对于具有大量输出的对称问题，量子查询复杂度至少为经典随机查询复杂度的七分之一根。
• 探索多项式影响与量子算法经典模拟之间的联系。
• 研究在承诺问题或输入对称性缺乏结构约束的情况下，是否存在超多项式量子加速。

提出的方法

• 使用多项式方法和对抗者方法分析黑箱模型中的量子查询复杂度。
• 应用改进版的混合方法，推导对称问题的量子查询复杂度下界。
• 提出一种新方法，用于识别有界低次多项式中的“高度影响”变量，该方法基于对多项式影响的猜想。
• 将经典模拟量子算法的问题简化为寻找一组小规模的、能保持接受概率在小误差范围内的关键输入位。
• 采用计数层次结构论证，表明若P = P^#P，则量子算法可用非自适应经典查询在P中模拟。
• 利用O’Donnell等人和Dinur等人关于布尔函数影响的研究成果，为多项式结构的猜想提供依据。

实验结果

研究问题

• RQ1 我们能否证明一个关于量子查询复杂度的一般下界，以区分有结构与无结构问题？
• RQ2 对于具有大量输出的对称问题，七分之一根界是否紧致？能否进一步改进？
• RQ3 如猜想所述，每个有界的低次多项式是否都存在一个高度影响的变量？
• RQ4 每个T-查询的量子算法是否都能在大多数输入上被T^O(1)次查询的经典算法模拟？
• RQ5 在影响猜想成立的前提下，能否证明相对于随机预言机有P ≠ BQP？

主要发现

• 对于具有足够多输出的对称问题，量子查询复杂度至少为经典随机查询复杂度的七分之一根，从而解决了Watrous（2002年）的猜想。
• 通过改进混合方法的分析并利用输入对称性，本文将先前的九分之一根界提升为七分之一根界。
• 在假设每个有界低次多项式都具有高度影响变量的猜想下，每个T-查询的量子算法都可以在大多数输入上被T^O(1)次查询的经典算法模拟。
• 在相同猜想下，难以证明相对于随机预言机有P ≠ BQP，因为量子加速在经典上是可模拟的。
• 该经典模拟是非自适应的，并且在输入上以高概率成立，意味着在缺乏结构约束的情况下，超多项式量子加速极不可能实现。
• 结果表明，量子加速本质上受限于具有全局对称性或规律性的问题，例如周期性或隐藏子群结构。