[论文解读] The Neumann Problem for Hessian Equations

Xi‐Nan Ma, Guohuan Qiu|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 32被引用 3

一句话总结

该论文通过证明全局二阶导数估计，建立了在一致严格凸区域中Hessian方程Neumann问题的经典解的存在性，从而证实了N. Trudinger（1986年）关于$2 \leq k \leq n-1$的猜想。作者提出了一种新颖的障碍函数，以控制由Neumann条件引起的边界项，从而实现$C^2$估计，并通过连续性方法证明了解的存在性。

ABSTRACT

In this paper, we prove the existence of a classical solution to a Neumann boundary problem for Hessian equations in uniformly convex domain. The methods depend upon the established of a priori derivative estimates up to second order. So we give a affirmative answer to a conjecture of N. Trudinger in 1986.

研究动机与目标

• 解决N. Trudinger（1986年）关于一致凸区域中Hessian方程Neumann问题可解性的长期猜想。
• 为具有Neumann边界条件的Hessian方程建立全局二阶导数估计。
• 在区域和数据的自然正则性与凸性假设下，证明唯一经典$C^{3,\alpha}$解的存在性。
• 克服Neumann条件中涉及外单位法向量法向导数的边界项所带来的困难。

提出的方法

• 通过辅助函数和障碍构造，推导先验的$C^0$、$C^1$和$C^2$估计。
• 引入一种新的障碍函数，以控制由Neumann条件引起的棘手项$\sum F^{ij} u_{ik} D_j \nu^k$。
• 通过精心构造的辅助函数$\overline{P}$，将全局$C^2$估计简化为对边界双法向导数的控制。
• 在管状邻域$\Omega_\mu$中对$\overline{P}$应用最大值原理，推导出法向-法向二阶导数的界。
• 利用全局$C^{2,\alpha}$估计，通过连续性方法证明经典解的存在性。
• 借助已知的Hessian测度理论和椭圆正则性结果，完成存在性论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 在球体情形之外，Hessian方程的Neumann问题是否可在一致凸区域中求解？
• RQ2 何种障碍函数结构可实现对涉及法向量法向导数的Neumann边界项的控制？
• RQ3 在$C^4$一致凸区域中，是否可为$k$-Hessian方程的Neumann数据推导出全局二阶导数估计？
• RQ4 $C^0$与$C^1$估计如何与存在性证明中的$C^2$估计相互作用？

主要发现

• 作者证实了Trudinger于1986年提出的猜想：在$C^4$一致凸区域中，$k$-Hessian方程的Neumann问题存在经典解。
• 建立了全局$C^2$估计，其中$|u_{\nu\nu}|$在$\partial\Omega$上的界依赖于$n$、$k$、$||u||_{C^1}$、$\min f$、$||\varphi||_{C^3}$以及$\partial\Omega$的$C^4$正则性。
• 关键创新在于提出一种新的障碍函数，可提取出一个正定项以主导问题边界项。
• 通过连续性方法，在给定假设下得到唯一$k$-允许解$u \in C^{3,\alpha}(\overline{\Omega})$。
• 证明依赖于将全局$C^2$估计简化为对边界双法向导数的控制，后者通过在修改后的辅助函数上应用最大值原理得以控制。