[论文解读] The Neumann problem of Hessian quotient equations

Chuanqiang Chen, Dekai Zhang|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 21被引用 7

一句话总结

本文建立了严格强凸、$C^4$ 域中 Hessian 商方程 $\sigma_k(D^2u)/\sigma_l(D^2u) = f(x)$ 的 Neumann 问题的全局 $C^2$ 估计，并证明了 $k$-可容解的存在性。通过 $\varepsilon$-正则化和连续性方法的扰动技术，作者获得了唯一至常数的 $C^{3,\alpha}$ 解，将先前关于 $k$-Hessian 方程和 Monge-Ampère 方程的结果推广至更一般的 Hessian 商情形。

ABSTRACT

In this paper, we obtain some important inequalities of Hessian quotient operators, and global $C^2$ estimates of the Neumann problem of Hessian quotient equations. By the method of continuity, we establish the existence theorem of $k$-admissible solutions of the Neumann problem of Hessian quotient equations.

研究动机与目标

• 将 Neumann 问题的存在性理论从 $k$-Hessian 方程和 Monge-Ampère 方程推广至更一般的 Hessian 商方程。
• 在严格强凸域中，为 Hessian 商方程 Neumann 问题建立全局 $C^2$ 先验估计。
• 通过将 $k$-Hessian 方程 Neumann 问题的可解性猜想推广至 Hessian 商方程，解决 Trudinger 关于严格强凸域中 $k$-Hessian 方程 Neumann 问题可解性的猜想。
• 利用正则化与极限方法，证明经典 Neumann 问题中 $k$-可容解的存在性，且解唯一至常数。

提出的方法

• 引入依赖于 $\varepsilon$ 的正则化 Neumann 问题：$(u^\varepsilon)_\nu = -\varepsilon u^\varepsilon + \varphi(x)$，确保当 $\varepsilon > 0$ 足够小时具有统一椭圆性与可解性。
• 利用最大值原理技术与区域的曲率假设，为正则化问题建立全局 $C^0$、$C^1$ 与 $C^2$ 先验估计。
• 应用连续性方法，借助 Hessian 商算子的凹性，证明对每个 $\varepsilon > 0$，正则化问题存在 $C^{3,\alpha}$ 解。
• 利用一致的 $C^2$ 估计与 Arzelà-Ascoli 型紧致性，取 $\varepsilon \to 0$ 的极限，得到经典 Neumann 问题的解。
• 利用最大值原理与 Hopf 引理，证明极限解唯一至常数。
• 利用 Schauder 理论与正则性传播，将 $C^2$ 解提升至 $C^{3,\alpha}$ 正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在严格强凸域中求解 Hessian 商方程的 Neumann 问题，从而将已知的 $k$-Hessian 与 Monge-Ampère 方程结果推广？
• RQ2 为确保 Hessian 商方程 Neumann 问题的 $k$-可容解存在性，需要并足以满足哪些先验估计？
• RQ3 在缺乏由于常数项导致的统一有界性的情况下，如何将连续性方法适配于完全非线性 Hessian 商方程的 Neumann 问题？
• RQ4 区域的严格强凸性在将全局二阶导数估计简化为边界法向导数估计中起什么作用？
• RQ5 能否使用 $\varepsilon$-正则化的扰动方法，克服经典 Neumann 问题中 Hessian 商方程的非唯一性与紧致性缺失问题？

主要发现

• 在 $C^4$ 严格 $(k-1)$-凸域中，为 Hessian 商方程 Neumann 问题建立了全局 $C^2$ 先验估计。
• 在适当的正则性与正性假设下，证明了 Neumann 问题 $\sigma_k(D^2u)/\sigma_l(D^2u) = f(x)$，$u_\nu = -u + \varphi(x)$ 在 $\partial\Omega$ 上存在唯一 $k$-可容解，且解属于 $C^{3,\alpha}(\overline{\Omega})$。
• 对于经典 Neumann 问题 $u_\nu = c + \varphi(x)$，通过 $\varepsilon$-正则化问题的极限过程，得到唯一至常数的解。
• $C^2$ 估计与 $\varepsilon$ 无关，且当 $\varepsilon \to 0$ 时，$u^\varepsilon$ 一致收敛于解 $v$，同时满足 $-\varepsilon u^\varepsilon \to c$。
• 由于对差分方程应用了 Schauder 估计，解满足 $C^{3,\alpha}$ 正则性。
• 通过最大值原理与 Hopf 引理应用于两个解的差，得出解唯一至常数。