[论文解读] The New Existence and Uniqueness Results for Complex Nonlinear Fractional Differential Equation

Müfit Şan, Kamal N. Soltanov|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2015

Nonlinear Differential Equations Analysis参考文献 14被引用 3

一句话总结

本文通过复单位圆内利用Schwarz引理与解析开拓，建立了复非线性分数阶微分方程（FDEs）的新存在性与唯一性定理，采用复形式的Riemann-Liouville分数阶导数。在非线性项满足温和的解析性与增长条件时，证明了具有Caputo或Riemann-Liouville导数的初值问题（IVPs）在$[0,R]$上存在至少一个连续解，在$(0,R)$上为实解析解，其中$R \leq 1$。

ABSTRACT

In this article, we obtain existence and uniqueness results to some problems involving complex nonlinear fractional differential equations (FDEs) in the closed unit disc of C. By help of these results, we prove that some IVPs for some fractional differential equations with Caputo or Riemann-Liouville derivative admit at least one local (or unique) solution continuous on a closed interval $[0,R]$ and real analytic on $(0,R),$ where $0

研究动机与目标

• 在闭单位圆$\mathbb{U}$中建立复非线性分数阶微分方程（FDEs）的存在性与唯一性结果。
• 利用复分析函数理论，将实分数阶IVP的经典存在性定理推广至复域。
• 在适当的解析性与增长条件下，证明解在$(0,R)$上为实解析，在$[0,R]$上连续，且$R \leq 1$。
• 表明复变量方法相较于以往的实变量方法可获得更强且更一般的结果。
• 通过实部提取，将复FDE解与实分数阶IVP联系起来，确保实解的解析性与唯一性。

提出的方法

• 在$\mathbb{U}$上使用Riemann-Liouville分数阶导数的复推广形式，其中$0 < a < 1$。
• 对非线性项$f(z,t)$施加条件(I)与(II)：$z^a f(z,t)$在$\mathbb{U} \times \mathbb{C}$上解析，且初始条件满足$z^a f(z,b)|_{z=0} = b / \Gamma(1-a)$。
• 应用Schwarz引理，在Lipschitz型条件$|f(z,\eta) - f(z,\nu)| < \kappa |z|^{-a} |\eta - \nu|$下证明唯一性，其中$\kappa < 1 / \Gamma(2-a)$。
• 通过实FDE右端项的解析开拓定义复FDE，确保复解的实部满足原始实IVP。
• 在$\overline{\mathbb{U}}_R$上解析函数的Banach空间中，通过不动点方法建立存在性，其增长界为$|z^a f(z,t)| \leq c|t-b|^{n_0} + |h(z)|$。
• 利用Caputo与Riemann-Liouville导数之间的关系$^C D^a u(x) = D^a (u(x) - u(0))$，将结果推广至Caputo型问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有Riemann-Liouville型分数阶导数的复非线性FDE在$\mathbb{U}$上存在解析解且在$\overline{\mathbb{U}}$上连续？
• RQ2 通过解析开拓与Schwarz引理的复变量方法，如何获得强于以往实变量方法的存在性与唯一性结果？
• RQ3 在何种条件下，复FDE解的实部满足具有Riemann-Liouville或Caputo导数的相应实分数阶IVP？
• RQ4 若$z^a f(z,t)$为单值，是否意味着复FDE解亦为单值？
• RQ5 在比以往已知更广泛的条件下，能否保证实分数阶IVP存在实解析解？

主要发现

• 在$f$满足条件(I)与(II)时，问题$D_z^a u(z) = f(z,u(z))$且$u(0) = b$在某个$R \in (0,1]$下，至少存在一个解$u \in \mathcal{B}_R$，其在$\mathbb{U}_R$上解析，在$\overline{\mathbb{U}}_R$上连续。
• 在Lipschitz型条件$\kappa < 1 / \Gamma(2-a)$下，同一问题在$\mathcal{B}_R$中解唯一。
• 对于问题$D_z^a (u(z) - u(0)) = f(z,u(z))$，在类似条件下，同样建立了存在性与唯一性，其中$z^a f(z,b)|_{z=0} = 0$。
• 若$f(x,y) = \Re(f(z,t))$，则复解$u(z)$的实部满足实分数阶IVP$\mathcal{D}^a u(x) = f(x, u(x))$，且导数为Riemann-Liouville或Caputo型。
• 当$z^a f(z,t)$关于$z$与$t$为线性时，IVP的实解在$(0,1)$上唯一且为实解析，在$[0,1]$上连续。
• 利用Schwarz引理使唯一性结果中允许的$f$类比以往研究更广泛，改进了先前结果（注记3.9(i)）。