[论文解读] The Newtonian Limit of Geometrostatics

Carla Cederbaum|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2012

Relativity and Gravitational Theory参考文献 1被引用 17

一句话总结

本文利用朱尔根·艾勒斯的参考系理论和拟牛顿引力，严格建立了具有紧支撑物质的静态孤立广义相对论系统在牛顿极限下的几何静力学。该文提出了新的局域质量与质心定义，当光速趋于无穷时，这些定义收敛于牛顿对应量，严格证明了在弱引力与低速极限下，几何静力学中的相对论质心趋近于牛顿质心。

ABSTRACT

This thesis discusses the Newtonian limit of General Relativity for static isolated systems with compactly supported matter. We call these systems "geometrostatic" to underline their geometric nature. We introduce new quasi-local notions of mass and center of mass that can be read off locally in the vicinity of the matter/black holes. We prove that these notions asymptotically coincide with ADM-mass and the Huisken-Yau CMC-center of mass. Moreover, we prove that they converge to Newtonian mass and center of mass in the Newtonian limit. The Newtonian limit is discussed in the language of Ehlers' frame theory. Furthermore, we prove several uniqueness claims in geometrostatics as well as other geometric and physical properties of these systems. We analyze equipotential sets, provide a pseudo-Newtonian reformulation of geometrostatics, and prove uniqueness of static photon spheres.

研究动机与目标

• 严格建立广义相对论在具有紧支撑物质的静态孤立系统中的牛顿极限。
• 在几何静力学中定义新的局域质量与质心，使其可在物质源附近计算，而不仅限于无穷远处。
• 通过艾勒斯的参考系理论与拟牛顿引力，统一牛顿与相对论概念。
• 证明在光速趋于零的极限下，相对论质量与质心收敛于其牛顿对应量。
• 为牛顿引力作为广义相对论在低速、弱场极限下的自洽性提供几何与物理基础。

提出的方法

• 利用艾勒斯的参考系理论，在统一框架下描述牛顿引力与相对论引力。
• 通过共形变换将几何静力学与拟牛顿引力联系起来，使弯曲时空中的牛顿形式成为可能。
• 基于拟牛顿势与包围面的诱导度量，提出一种新的局域质心公式。
• 采用波谐、渐近平坦坐标系，确保几何与物理量的平滑收敛。
• 应用格林公式与一致收敛性论证，将拟牛顿质心与牛顿质心联系起来。
• 利用加权索伯列夫空间与渐近分析控制衰减行为，确保极限的适定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在低速与弱引力极限下，静态孤立相对论系统中的质心是否收敛于牛顿质心？
• RQ2 在几何静力学中，能否一致地将局域几何定义的质心与牛顿概念关联？
• RQ3 在牛顿极限下，几何静力学中的相对论质量与质心如何行为？何种条件可确保收敛？
• RQ4 拟牛顿引力在连接几何静力学与牛顿引力之间起到何种作用？
• RQ5 在极限下，新提出的局域质量与质心定义是否独立于包围面的选择？

主要发现

• 通过ADM、CMC、Iyer与基于参考系理论的方法定义的几何静力学中的相对论质心，在光速趋于无穷时收敛于牛顿质心。
• 拟牛顿质心定义良好，且不依赖于包围面的选择，该结论通过格林公式与散度定理得到证明。
• 在给定渐近条件下，拟牛顿质量一致收敛于牛顿质量，从而严格确立了质量的牛顿极限。
• 新提出的局域质心公式明确基于包围物质的曲面上的诱导度量与势能，其在极限下与牛顿质心一致。
• 质心的收敛性由坐标、法向量与势能的一致收敛性，以及质量的收敛性保证。
• 该结果在波谐、渐近平坦坐标系一致收敛于牛顿极限下笛卡尔坐标系的假设下成立。