[论文解读] The Nielsen and the Reidemeister numbers of maps on infra-solvmanifolds of type (R)

Alexander Fel’shtyn, Jong Bum Lee|arXiv (Cornell University)|Mar 4, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 7

一句话总结

该论文建立了类型(R)的仿流形上尼尔森与雷德迈斯特zeta函数的合理性、函数方程以及有限收敛半径。在有限性条件下，证明了这两个zeta函数的高斯同余式，将其与映射环面的雷德迈斯特 torsion 联系起来，并表明雷德迈斯特zeta函数在非仿-nil流形的仿流形上未定义。其主要贡献在于将zeta函数理论与同余定律扩展到了比nilmanifold更广泛的solvmanifold类别。

ABSTRACT

We prove the rationality, the functional equations and calculate the radii of convergence of the Nielsen and the Reidemeister zeta functions of continuous maps on infra-solvmanifolds of type $\\R$. We find a connection between the Reidemeister and Nielsen zeta functions and the Reidemeister torsions of the corresponding mapping tori. We show that if the Reidemeister zeta function is defined for a homeomorphism on an infra-solvmanifold of type $\\R$, then this manifold is an infra-nilmanifold. We also prove that a map on an infra-solvmanifold of type $\\R$ induced by an affine map minimizes the topological entropy in its homotopy class and it has a rational Artin-Mazur zeta function. Finally we prove the Gauss congruences for the Reidemeister and Nielsen numbers of any map on an infra-solvmanifolds of type $\\R$ whenever all the Reidemeister numbers of iterates of the map are finite. Our main technical tool is the averaging formulas for the Lefschetz, the Nielsen and the Reidemeister numbers on infra-solvmanifolds of type $\\R$.

研究动机与目标

• 将尼尔森与雷德迈斯特zeta函数的理论从nilmanifold扩展到更广泛的类型(R)仿流形类别。
• 为这些流形上的映射建立zeta函数的合理性与函数方程。
• 将zeta函数与相应映射环面的雷德迈斯特 torsion 联系起来。
• 在有限性条件下，证明尼尔森与雷德迈斯特数的高斯同余式。
• 表征雷德迈斯特zeta函数何时有定义，表明其在非仿-nil流形的仿流形上未定义。

提出的方法

• 通过其基本群的结构，推导出类型(R)的仿流形上李普希茨、尼尔森与雷德迈斯特数的平均公式。
• 应用仿射提升与旋转变换群的概念，分析映射及其迭代的动力学。
• 利用zeta函数的函数方程及诱导自同态的特征值性质，证明合理性。
• 通过谱分析，建立雷德迈斯特zeta函数与映射环面的雷德迈斯特 torsion 之间的联系。
• 采用莫比乌斯反演与轨道计数论证，证明周期点的高斯同余式。
• 应用关于虚拟单峰与双曲自同态的结果，确定雷德迈斯特数的有限性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，类型(R)的仿流形上映射的雷德迈斯特zeta函数是合理的且有定义的？
• RQ2 尼尔森与雷德迈斯特zeta函数如何与映射环面的雷德迈斯特 torsion 相关联？
• RQ3 雷德迈斯特数的迭代有限性与高斯同余式有效性的关系是什么？
• RQ4 zeta函数能否超越nilmanifold扩展到类型(R)的仿流形，其解析性质是什么？
• RQ5 雷德迈斯特zeta函数在何时未定义，流形的何种拓扑性质导致此现象？

主要发现

• 在类型(R)的仿流形上，尼尔森与雷德迈斯特zeta函数是合理函数，并满足函数方程。
• 两个zeta函数的收敛半径均为有限值，且与映射的拓扑熵相关。
• 除非流形是仿-nil流形，否则对于类型(R)的仿流形上的同胚，雷德迈斯特zeta函数永远未定义。
• zeta函数通过诱导自同态的谱不变量与映射环面的雷德迈斯特 torsion 相关联。
• 当所有迭代雷德迈斯特数均为有限时，尼尔森与雷德迈斯特数的高斯同余式对任意类型(R)仿流形上的映射均成立。
• 由仿射映射诱导的阿廷-马扎尔zeta函数在类型(R)的仿流形上是合理的，且此类映射在其同伦类中最小化了拓扑熵。