[论文解读] The NISQ Complexity of Collision Finding

Yassine Hamoudi, Qipeng Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2022

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 4

一句话总结

本文提出了混合压缩预言机框架，这是一种新颖的技术，用于分析随机预言模型中量子-经典查询之间的权衡。该框架能够一致追踪在不兼容基底下从经典查询和量子查询中获得的知识，为寻找碰撞问题提供了最优的查询复杂度界，并简化了搜索问题的证明。

ABSTRACT

Collision-resistant hashing, a fundamental primitive in modern cryptography, ensures that there is no efficient way to find distinct inputs that produce the same hash value. This property underpins the security of various cryptographic applications, making it crucial to understand its complexity. The complexity of this problem is well-understood in the classical setting and $Θ(N^{1/2})$ queries are needed to find a collision. However, the advent of quantum computing has introduced new challenges since quantum adversaries $\unicode{x2013}$ equipped with the power of quantum queries $\unicode{x2013}$ can find collisions much more efficiently. Brassard, Höyer and Tapp and Aaronson and Shi established that full-scale quantum adversaries require $Θ(N^{1/3})$ queries to find a collision, prompting a need for longer hash outputs, which impacts efficiency in terms of the key lengths needed for security. This paper explores the implications of quantum attacks in the Noisy-Intermediate Scale Quantum (NISQ) era. In this work, we investigate three different models for NISQ algorithms and achieve tight bounds for all of them: (1) A hybrid algorithm making adaptive quantum or classical queries but with a limited quantum query budget, or (2) A quantum algorithm with access to a noisy oracle, subject to a dephasing or depolarizing channel, or (3) A hybrid algorithm with an upper bound on its maximum quantum depth; i.e., a classical algorithm aided by low-depth quantum circuits. In fact, our results handle all regimes between NISQ and full-scale quantum computers. Previously, only results for the pre-image search problem were known for these models by Sun and Zheng, Rosmanis, Chen, Cotler, Huang and Li while nothing was known about the collision finding problem.

研究动机与目标

• 为解决在对随机预言机具有黑箱访问权限的混合量子-经典算法中，缺乏通用技术来证明查询下界的问题。
• 解决在随机预言机模型中确定寻找碰撞问题最优量子-经典权衡的开放问题。
• 开发一个统一框架，一致记录来自经典查询（标准基）和量子查询（傅里叶基）的知识。
• 通过考虑有限的量子查询访问和高昂的量子查询成本等实际约束，为量子算法分析提供更实用的模型。
• 通过支持混合访问模型下的更紧密资源估算和安全证明，推动后量子密码学和近期量子计算的发展。

提出的方法

• 提出混合压缩预言机框架作为张宏瑞压缩预言机技术的扩展，实现对不兼容基底下查询的一致记录。
• 引入基于查询记录的追踪方法，利用标准基和傅里叶基中的正交投影算子，追踪来自经典和量子查询的知识增长。
• 采用混合查询模型，其中算法在叠加态中进行有限次量子查询（在标准基中），并进行经典查询（在标准基中），框架追踪其联合进展。
• 通过基于查询历史将状态分解为子空间，并利用投影算子测量重叠，推导查询复杂度的界。
• 使用柯西-施瓦茨不等式和三角不等式等不等式，对查询子空间重叠引起的误差项进行有界。
• 利用投影算子的结构性质（如正交性、完备性），推导出在不同查询层面上成功概率的递归界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在随机预言机模型中，寻找碰撞问题的最优量子-经典查询权衡是什么？
• RQ2 能否开发一个统一框架，以一致方式分析混合量子-经典查询算法中的经典和量子查询？
• RQ3 当现有技术无法考虑不兼容查询基底时，如何为混合算法建立查询下界？
• RQ4 该框架对后量子密码学和量子深度受限的近期量子计算有何影响？
• RQ5 该框架能否简化或改进在混合查询模型中对搜索问题现有下界的结论？

主要发现

• 本文确立了在随机预言机模型中寻找碰撞问题的最优量子-经典权衡，解决了罗兹曼提出的一个开放问题。
• 混合压缩预言机框架相较于先前工作，为搜索问题的最优权衡提供了更简单、更系统的证明。
• 该框架通过在不兼容基底下使用正交投影算子建模来自经典和量子查询的知识增长，实现了紧密的界。
• 分析表明，混合算法的成功概率受限于不同查询子空间贡献之和，误差项通过柯西-施瓦茨不等式和三角不等式进行有界。
• 该框架表明，当量子查询成本高昂或数量有限时，即使有大量经典查询，量子加速也会受到限制。
• 结果表明，对于原像搜索和碰撞寻找算法，即使经典查询数量很高，若仅使用少量量子查询，也无法实现显著加速。