[论文解读] The non-commutative scheme having a free algebra as a homogeneous coordinate ring

S. Paul Smith|arXiv (Cornell University)|Apr 19, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 11被引用 9

一句话总结

本文证明了：以自由代数为其齐次坐标环的非交换概形，其拟相干层的导出范畴与矩阵代数列的直极限上的模范畴等价。该概形上的凝聚层范畴不包含不可约对象、诺特对象或简单对象，且所有短正合列均分裂——表明其几何结构高度非经典，与交换射影概形有本质区别。

ABSTRACT

Let k be a field and TV the tensor algebra on a k-vector space V of dimension n>1. This paper proves that the quotient category QGr(TV) := Gr(TV)/Fdim of graded TV-modules modulo those that are unions of finite dimensional modules is equivalent to the category of modules over the direct limit of matrix algebras, M_n(k)^{\otimes r}. QGr(TV) is viewed as the category of "quasi-coherent sheaves" on the non-commutative scheme Proj(TV). The subcategory qgr(TV) consisting of the finitely presented objects is viewed as the category of coherent sheaves on Proj(TV). We show qgr(TV) has no indecomposable objects, no noetherian objects, and no simple objects. Moreover, every short exact sequence in qgr(TV) splits. The equivalence of categories result can be interpreted as saying that Proj(TV) is an "affine non-commutative scheme".

研究动机与目标

• 理解非交换概形 Proj_nc(R) 的结构，其中 R 为自由代数。
• 表征该概形上凝聚层范畴的性质，特别是其缺乏简单对象或诺特对象等标准几何特征。
• 建立该概形上拟相干范畴与凝聚范畴之间，与矩阵代数直极限上的模范畴之间的等价关系。
• 证明非交换射影空间在本质上与经典射影空间不同，尤其在正合序列与对象分解方面。

提出的方法

• 定义商范畴 QGr(R) = Gr(R)/Fdim(R)，其中 Fdim(R) 是有限维模的直极限的全子范畴。
• 利用扭函子与结构层 O = π*(R) 分析 Proj_nc(R) 上的拟相干层范畴。
• 证明 O 在 QGr(R) 中是有限生成、投射且为生成元，从而实现类似 Morita 的等价。
• 构造直极限代数 S = lim→ M_{n+1}(k)⊗r，并证明 QGr(R) 与右 S-模范畴等价。
• 对 R-模的正合序列应用蛇形引理，以分析扩张并推导凝聚范畴的性质。
• 运用 Rosenberg 在非交换几何中关于闭子空间的理论，证明 X^n 的唯一闭子空间为空集与 X^n 本身。

实验结果

研究问题

• RQ1 非交换概形 Proj_nc(k⟨x₀,…,xₙ⟩) 上拟相干层范畴的结构是什么？
• RQ2 该概形上的凝聚层范畴是否包含不可约对象、诺特对象或简单对象？
• RQ3 该非交换概形上的凝聚层范畴与经典射影空间的凝聚层范畴有何比较？
• RQ4 以自由代数为坐标环的非交换概形与 Leavitt 代数或 Cuntz 代数之间有何关系？
• RQ5 凝聚范畴中所有短正合序列是否均分裂？这对其几何结构意味着什么？

主要发现

• 范畴 QGr(R) 与直极限代数 S = lim→ M_{n+1}(k)⊗r 的右模范畴等价，且 under this equivalence，O 映射为 S。
• 范畴 qgr(R) 与 S 的有限表示右模范畴等价，且 S 与自身反同构。
• 当 dim V ≥ 2 时，范畴 qgr(R) 不包含不可约对象、诺特对象或简单对象。
• qgr(R) 中每个短正合序列均分裂，表明该范畴在强意义上为半单范畴。
• qgr(R) 的 Grothendieck 群作为加法群同构于 ℤ[1/(n+1)]。
• 尽管自由代数拥有许多双边理想，X^n 的唯一闭子空间仍仅为空集与 X^n 本身。