[论文解读] The Non-Gaussian to Gaussian Transition: Pointwise Heat Kernel Estimates and Optimal Convergence Rates

Ting Li, Chongyang Ren+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 15, 2026

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一句话总结

该论文在 α → 2 时建立 α-stable 密度的一致逐点热核估计，证明热核和密度的 2−α 收敛速率，并在低正则的漂移下推导非高斯扩散与高斯扩散之间不变测度的最优收敛速率。

ABSTRACT

We establish uniform pointwise estimates for the densities of a family of $α$-stable processes with respect to the index $α\in [α_0,2]$ for some $α_0>0$. In addition, we estimate the difference between the heat kernels of non-local and local operators, showing that it is controlled by the rate $2-α$. Both estimates (see Proposition 2.4) are new to the literature. Furthermore, as an application, we achieve the optimal rate $2-α$ for the pointwise estimate between the transition probabilities, as well as for the (weighted) total variation and Kantorovich distances between the invariant measures, of non-Gaussian and Gaussian diffusion. These results are obtained under the assumption that the drifts are locally $β$-Hölder continuous, with the latter additionally requiring dissipativity. The results on transition probabilities (see Theorem 2.3) are novel, while those on invariant measures (see Theorem 2.7) significantly extend the existing literature.

研究动机与目标

• 定量理解 α→2 极限对于 α-stable 驱动的 SDE 的影响及其对密度和不变测度的作用。
• 开发关于 α 的一致热核估计以实现收敛分析。
• 量化非高斯（α<2）密度向高斯（α=2）密度收敛的速率。
• 为跃迁密度以及不变测度之间的加权总变差和 Kantorovich 距离建立最优收敛速率。
• 通过热核方法放宽漂移的正则性要求。

提出的方法

• 使用参数解法分析由 α-stable 过程驱动的 SDE 的密度。
• 给出关于指数 α 的一致热核界，独立于 α，并通过函数 ρα(t,x) 表达。
• 获得 α 连续性估计，显示 |p(b)α − p(b)2| ≤ c(2−α) 诸多 φ 项之和。
• 使用确定性正则化流 θ(ε) 来处理漂移正则化并构建密度。
• 应用 Harris 定理和热核估计研究不变测度并获得定量收敛速率。
• 证明密度和不变测度的收敛速率在耗散性下是最优且等于 2−α。

实验结果

研究问题

• RQ1 α-stable 热核 p(b)α 向高斯热核 p(b)2 在 α→2 时的收敛速率是多少？
• RQ2 是否可以在 α ∈[α0,2] 上对低正则漂移的 α-stable 驱动 SDE 建立统一的、与 α 无关的热核估计？
• RQ3 在漂移正则性较弱的情况下，α-stable 噪声驱动的 SDE 的密度和转移概率是否以 2−α 的速率收敛到其高斯对应物？
• RQ4 非高斯与高斯扩散之间，在加权总变差和 Kantorovich 距离方面不变测度的最优收敛速率是多少？
• RQ5 漂移的耗散性如何影响不变测度的收敛，以及有哪些更弱的漂移条件也足以保证？

主要发现

• 存在在 α∈[α0,2] 的一致逐点热核估计，界限包含 ρα(t−s, θ(s,t)(x)−y)。
• α 连续性结果给出 p(b)α 与 p(b)2 之间的差的 2−α 速率。
• 在低正则漂移假设下，X(α) 的密度向 X(2) 的逐点收敛也具有相同的 2−α 速率。
• 在耗散性条件下，不变测度 μ(α) 以加权总变差的速率 c(2−α) 收敛到 μ(2)。
• 结果推广至总变差和 Wasserstein 型距离，给出不变测度的最优 2−α 速率。