[论文解读] The non-semisimple Verlinde formula and pseudo-trace functions

Azat M. Gainutdinov, Ingo Runkel|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用 2

一句话总结

本文通过在可约有限张量范畴中使用伪迹函数和范畴迹，提出了一种非半单的Verlinde公式推广。结合Shimizu的内部特征标理论与Miyamoto及Arike-Nagatomo的伪迹函数，作者推导出一个猜想性的模Verlinde公式，该公式将伪迹函数的模S变换与格罗滕迪克环中的融合法则联系起来。该猜想在N对辛 fermion 的顶点算子代数中得到明确验证，其中伪迹函数的S变换重现了已知的（猜想性的）融合法则。

ABSTRACT

Using results of Shimizu on internal characters we prove a useful non-semisimple variant of the categorical Verlinde formula for factorisable finite tensor categories. Conjecturally, examples of such categories are given by the representations RepV of a vertex operator algebra V subject to certain finiteness conditions. Combining this with results on pseudo-trace functions by Miyamoto and Arike–Nagatomo, one can make a precise conjecture for a non-semisimple modular Verlinde formula which relates modular properties of pseudo-trace functions for V and the product in the Grothendieck ring of RepV . We test this conjecture in the example of the vertex operator algebra of N pairs of symplectic fermions by explicitly computing the modular S -transformation of the pseudo-trace functions.

研究动机与目标

• 将Verlinde公式从半单范畴推广至非半单的可约有限张量范畴。
• 提出一个精确的猜想性模Verlinde公式，将顶点算子代数（VOA）表示的格罗滕迪克环中的融合法则与伪迹函数的模S变换联系起来。
• 在具体非半单例子——N对辛 fermion 的偶部中检验该猜想。
• 在对数共形场论中建立范畴迹结构与伪迹函数模性质之间的桥梁。

提出的方法

• 利用Shimizu的内部特征标理论，将范畴Verlinde公式推广至非半单范畴，以共端取代半单直和。
• 应用Miyamoto及Arike-Nagatomo关于伪迹函数的结果，在非半单设定下定义模不变量。
• 构建恒等函子自同态空间与投影生成元的自同态代数上的中心形式空间之间的线性同构。
• 通过该同构将恒等函子自同态的代数结构转移至中心形式空间，定义一种新乘积，记为's'。
• 计算辛 fermion VOA 的伪迹函数的模S变换，并与已知的融合法则进行比较。
• 使用微分算子和涉及扭与非扭模的特征标公式，显式计算伪迹函数。

实验结果

研究问题

• RQ1 Verlinde公式如何推广至非半单的可约有限张量范畴？
• RQ2 伪迹函数的模S变换与非有理VOA的格罗滕迪克环中融合法则之间的确切关系是什么？
• RQ3 该猜想性的非半单模Verlinde公式是否可在具体例子中显式验证？
• RQ4 内部特征标与伪迹函数在对数CFT中连接范畴结构与模结构方面起什么作用？

主要发现

• 当应用于N对辛 fermion 偶部的伪迹函数S变换时，猜想性的非半单模Verlinde公式正确重现了融合法则。
• 辛 fermion VOA 的伪迹函数的S变换与预期的融合法则一致，为该猜想提供了强有力证据。
• 计算结果确认，伪迹函数的模S变换由涉及中心形式上乘积's'的推导公式所捕获。
• 格罗滕迪克环中的结构常数N^C_AB 作为S^{-1}变换下变换伪迹函数的扭积的系数被恢复。
• 恒等函子自同态与End_V(G)上中心形式之间的同构对于将代数结构传递至函数空间至关重要。
• 通过微分算子和特征标恒等式推导出伪迹函数S变换的显式公式，且猜想公式与已知融合法则一致。