[论文解读] The Nonassociativity of the Double Minus Operation

Jia Huang, Madison Mickey+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 16, 2017

Numerical Methods and Algorithms参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过非结合双减法运算 $ a \ominus b := -a - b $，为 OEIS 数列 A000975 提供了一种类组合解释。通过分析 $ x_0 \ominus x_1 \cdots \ominus x_n $ 的括号化结构（以满二叉树建模），作者证明了不同结果的数量恰好等于 A000975 的第 $ n $ 项 $ A_n $，并基于满二叉树中叶节点深度奇偶性，量化了该运算的非结合性。该结果为 A000975 数列提供了一个新的枚举对象家族。

ABSTRACT

The sequence A000975 in OEIS can be defined by $A_1=1$, $A_{n+1}=2A_n$ if $n$ is odd, and $A_{n+1}=2A_n+1$ if $n$ is even. This sequence satisfies other recurrence relations, admits some closed formulas, and is known to enumerate several interesting families of objects. We provide a new interpretation of this sequence using a binary operation defined by $a\ominus b := -a -b$. We show that the number of distinct results obtained by inserting parentheses in the expression $x_0\ominus x_1\ominus \cdots\ominus x_n$ equals $A_n$, by investigating the leaf depth in binary trees. Our result can be viewed as a quantitative measurement for the nonassociativity of the binary operation $\ominus$.

研究动机与目标

• 通过非结合二元运算，为整数数列 A000975 提供新的组合解释。
• 通过统计不同括号化结果的数量，量化双减法运算 $ a \ominus b = -a - b $ 的非结合性。
• 建立括号化结果与具有 $ n+1 $ 个叶节点的满二叉树中叶节点深度之间的联系。
• 通过深度奇偶性的二进制序列表征所有不同结果的符号模式。
• 基于正号数量的细化计数，导出 $ C_{\ominus,n} $ 的闭式表达。

提出的方法

• 在复数上定义双减法运算 $ a \ominus b := -a - b $，该运算具有非结合性。
• 使用具有 $ n+1 $ 个叶节点的满二叉树来建模 $ x_0 \ominus \cdots \ominus x_n $ 的括号化结构。
• 为每个叶节点分配一个深度（从根节点出发的边数），并根据其叶节点深度的奇偶性，确定最终表达式中每个 $ x_i $ 的符号。
• 证明每个 $ x_i $ 的符号模式 $ (-1)^{d_i} $ 仅由其在树中对应叶节点的深度奇偶性决定。
• 利用生成函数与单位根，计算模 3 的二项式系数和，从而导出 $ C_{\ominus,n} $ 的闭式公式。
• 建立递推关系 $ C_{\ominus,n} = 2^n - 1 - C_{\ominus,n-1} $（$ n \geq 2 $），该关系与 $ A_n $ 的递推式一致。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非结合运算 $ a \ominus b = -a - b $ 下，对 $ x_0 \ominus x_1 \cdots \ominus x_n $ 进行括号化，会产生多少种不同的结果？
• RQ2 何种组合结构能表征最终表达式中变量符号模式的特征？
• RQ3 能否基于正号数量的细化计数，表达不同结果的总数？
• RQ4 是否存在括号化结果与已知的 A000975 数列枚举对象之间的直接双射？
• RQ5 在所有具有 $ n+1 $ 个叶节点的满二叉树中，叶节点的平均深度是多少？

主要发现

• 对 $ x_0 \ominus x_1 \cdots \ominus x_n $ 进行括号化后，不同结果的数量恰好为 $ A_n $，即 OEIS 数列 A000975 的第 $ n $ 项。
• 最终表达式中每个变量 $ x_i $ 的符号为 $ (-1)^{d_i} $，其中 $ d_i $ 是其在对应二叉树中第 $ i $ 个叶节点的深度。
• 具有恰好 $ r $ 个正号的结果的细化计数 $ C_{\ominus,n,r} $ 由模 3 同余于 $ 1-n $ 的索引上的二项式系数之和给出，形成一种修改版的帕斯卡三角形。
• 总数 $ C_{\ominus,n} $ 满足递推关系 $ C_{\ominus,n} = 2^n - 1 - C_{\ominus,n-1} $（$ n \geq 2 $），与 $ A_n $ 的递推式一致。
• 通过单位根方法推导出闭式表达 $ C_{\ominus,n} = \left\lfloor \frac{2^{n+1}}{3} \right\rfloor $，确认其与 $ A_n $ 相等。
• 所有不同的结果与满足条件的二进制序列 $ (d_0, \ldots, d_n) \in \{0,1\}^{n+1} $ 一一对应，其中 $ d_i $ 为第 $ i $ 个叶节点的深度奇偶性。