[论文解读] The Noncommutative Geometry of k-graph C*-Algebras
本文通过将k-图C*-代数上的忠实半有限迹与底层k-图上的图迹联系起来，建立了这些代数上存在忠实半有限迹的条件。本文为这类代数构造了(k,∞)-可和的半有限谱三元组，并通过KK-理论计算了半有限指标配对，表明其等于取值于T^k作用下固定点代数K-理论的KK-指标，揭示了半有限指标理论与KK-理论之间深层联系。
This paper is comprised of two related parts. First we discuss which k-graph algebras have faithful gauge invariant traces, where the gauge action of $\T^k$ is the canonical one. We give a sufficient condition for the existence of such a trace, identify the C*-algebras of k-graphs satisfying this condition up to Morita equivalence, and compute their K-theory. For k-graphs with faithful gauge invariant trace, we construct a smooth $(k,\infty)$-summable semifinite spectral triple. We use the semifinite local index theorem to compute the pairing with K-theory. This numerical pairing can be obtained by applying the trace to a KK-pairing with values in the K-theory of the fixed point algebra of the $\T^k$ action. As with graph algebras, the index pairing is an invariant for a finer structure than the isomorphism class of the algebra.
研究动机与目标
- 表征k-图C*-代数何时允许存在忠实的、半有限的、下半连续的、规范不变的迹。
- 将图代数的半有限谱三元组构造方法推广至k-图代数。
- 使用KK-理论计算半有限指标配对，并将其与T^k作用下固定点代数的K-理论联系起来。
- 探讨k-图代数背景下半有限指标理论与KK-理论之间的关系。
提出的方法
- 通过k-图Λ上忠实图迹的存在性，表征C*(Λ)上忠实规范不变迹的存在性。
- 为局部有限、局部凸且无汇点的k-图构造Kasparov模，当k为偶数时，该模成为谱三元组。
- 利用k-图C*-代数上的T^k作用，将环面T^k上的狄拉克算子“上拉”至k-图代数，以定义k-图代数上的狄拉克算子。
- 构建一个冯诺依曼代数作为谱三元组的一部分，其作用相当于图代数关于T^k作用的半直积。
- 应用半有限局部指标定理，计算与K-理论的指标配对。
- 将指标配对与取值于T^k作用下固定点代数K-理论的KK-配对联系起来。
实验结果
研究问题
- RQ1在何种条件下，k-图代数允许存在忠实的、半有限的、规范不变的迹？
- RQ2如何为具有此类迹的k-图C*-代数构造半有限谱三元组？
- RQ3在此背景下，半有限指标配对与KK-理论之间存在何种关系？
- RQ4k-图代数上的T^k作用如何促进狄拉克算子的构造？
- RQ5通过半有限局部指标定理计算出的指标配对能否表示为KK-指标？
主要发现
- k-图代数C*(Λ)当且仅当k-图Λ存在忠实图迹时，才允许存在忠实的、半有限的、下确连续的、规范不变的迹。
- 对于存在忠实图迹的k-图，本文构造了(k,∞)-可和的半有限谱三元组。
- 与K-理论的半有限指标配对等于取值于T^k作用下固定点代数K-理论的KK-指标。
- 该构造为每个整数维数k ≥ 1提供了无穷多个半有限谱三元组的例子。
- 具有忠实图迹的k-图代数与子群G ⊆ ℤ^k的C*(G)的直和Morita等价，因此与0到k维环面上的连续函数的直和等价。
- 此类k-图代数的K-理论同构于秩l_v ≤ k的环面K-理论的直和，该结果通过分解为端点分量计算得出。
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