[论文解读] The nonconforming virtual element method

Blanca Ayuso de Dios, Konstantin Lipnikov+1 more|arXiv (Cornell University)|May 15, 2014

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 19被引用 13

一句话总结

本文提出了一种用于在多边形和多面体网格上求解二阶椭圆问题的非 conforming 虚拟元方法（VEM），可在一般单元上实现任意阶精度，且无需显式计算非多项式基函数。该方法在能量范数和 L² 范数下均达到最优收敛率，并与文献 [27] 中的一类仿射有限差分格式在代数上等价。

ABSTRACT

We introduce the nonconforming Virtual Element Method (VEM) for the approximation of second order elliptic problems. We present the construction of the new element in two and three dimensions, highlighting the main differences with the conforming VEM and the classical nonconforming finite element methods. We provide the error analysis and establish the equivalence with a family of mimetic finite difference methods.

研究动机与目标

• 开发一种用于二阶椭圆问题的非 conforming 虚拟元方法（VEM），使其在一般多边形和多面体网格上实现任意阶精度。
• 通过统一所有多项式次数 k ≥ 1 及任意单元形状（包括非凸和退化的单元）的构造方式，克服经典非 conforming 有限元方法的局限性。
• 建立一个理论框架，使即使在复杂网格下，也能使用标准泛函分析工具进行收敛性分析。
• 通过证明所提出的 VEM 与文献 [27] 中的仿射有限差分（MFD）格式在代数上等价，建立两种主流多边形/多面体离散化方法之间的联系。
• 提供一种统一、稳定且一致的公式化方法，通过自由度和稳定化项避免显式计算非多项式基函数。

提出的方法

• 将局部虚拟元空间构造为多项式空间与满足偏微分方程的调和型函数空间之和，但不显式计算后者。
• 仅通过自由度和到多项式空间的一致投影来定义全局 VEM 双线性形式，从而保证一致性和稳定性。
• 通过一个对称正定矩阵 S 实现稳定化项，确保离散问题保持适定且稳定。
• 使用投影算子 Π∇ 将虚拟函数的梯度投影到多项式空间上，从而在无需显式了解非多项式部分的情况下计算双线性形式。
• 依赖于一致性条件：双线性形式在次数为 k 的多项式上与精确内积一致，从而保证最优逼近性质。
• 通过证明当稳定化项适切选择时，VEM 刚度矩阵与 MFD 矩阵一致，从而建立与仿射有限差分（MFD）格式的等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种非 conforming 虚拟元方法，使其在包括非凸和退化单元在内的通用多边形和多面体网格上实现任意阶精度？
• RQ2 如何以统一方式构造 VEM，使其适用于所有多项式次数 k ≥ 1，避免经典非 conforming 有限元中常见的分情况构造？
• RQ3 非 conforming VEM 与现有仿射有限差分（MFD）格式之间存在何种关系，特别是与文献 [27] 中的三维 MFD 格式？
• RQ4 尽管存在非 conforming 性质和未计算的基函数，是否仍可使用标准泛函分析工具对 VEM 进行分析？
• RQ5 VEM 和 MFD 方法中的稳定化项在何种条件下一致？其代数结构如何？

主要发现

• 非 conforming VEM 在能量范数和 L² 范数下对任意多项式次数 k ≥ 1 均达到最优收敛率。
• 该方法适用于一般形状正则的多边形和多面体网格，包括非凸和退化单元，且无需特殊处理。
• VEM 双线性形式仅通过自由度和投影构造，避免了对非多项式基函数的显式计算。
• 当稳定化项匹配时，VEM 与文献 [27] 中的仿射有限差分格式在代数上等价，两者的刚度矩阵相同。
• 通过适当选择矩阵 S，可使 VEM 的稳定化项与 MFD 的稳定化项等价，反之亦然，从而在两种稳定化策略之间建立一一对应关系。
• 该方法继承了仿射框架的鲁棒性，同时受益于虚拟元方法在理论清晰性和灵活性方面的优势。