[论文解读] The nonlinear equation of correlation function of galaxies in the expanding universe and the solution in linear approximation

Yang Zhang, Bichu Li|arXiv (Cornell University)|Nov 3, 2021

Cosmology and Gravitation Theories参考文献 80被引用 6

一句话总结

本文通过场论和流体力学方法，推导出在 ΩΛ + Ωm = 1 的膨胀宇宙中，星系两点相关函数 ξ(r, t) 的非线性、双曲型积分微分方程。在线性近似下，求解了 ξ(r, z)，揭示了小尺度上的增长主峰（ξ ∝ r⁻¹）和大尺度上与 Jeans 波长 λJ 相关的约 100 Mpc 周期性隆起，且功率谱中的隆起与振荡源于初始条件和声学振荡，而不仅限于声 horizons。

ABSTRACT

We present an analytic study of the density fluctuation of a Newtonian self-gravity fluid in the expanding universe with $\Omega_\Lambda+\Omega_m=1$, which extends our previous work in the static case. By use of field theory techniques, we obtain the nonlinear, hyperbolic equation of 2-pt correlation function $\xi$ of perturbation. Under the Zel'dolvich approximation the equation becomes an integro-differential equation and contains also the 3-pt and 4-pt correlation functions. By adopting the Groth-Peebles and Fry-Peebles ansatz, the equation becomes closed, contains a pressure term and a delta source term which were neglected in Davis and Peebles' milestone work. The equation has three parameters of fluid: the particle mass $m$ in the source, the overdensity $\gamma$, and the sound speed $c_s$. We solve only the linear equation and apply to the system of galaxies. We assume two models of $c_s$ and, take an initial power spectrum at a redshift $z=7$, which inherits the relevant imprint from the spectrum of baryon acoustic oscillations at the decoupling. The solution $\xi({\bf r}, z)$ is growing during expansion, and contains $100$Mpc periodic bumps at large scales, and a main mountain (a global maximum with $\xi \propto r^{-1}$) at small scales $r\lesssim 50$Mpc. The profile of $\xi$ agrees with the observed ones from galaxy and quasar surveys. The bump separation is given by the Jeans length $\lambda_J$ as the correlation scale, also modified by $\gamma$ and $c_s$. The main mountain is largely generated by the source $\propto m$ as the clustering scale. Since the outcome is affected by the initial condition and the parameters as well, it is hard to infer the imprint of baryon acoustic oscillations accurately. The difficulties with the sound horizon as a distance ruler are pointed out.

研究动机与目标

• 推导膨胀牛顿自引力流体中密度扰动两点相关函数 ξ(r, t) 的非线性场方程。
• 将先前静态解的框架扩展至 ΩΛ + Ωm = 1 的动态膨胀宇宙背景。
• 在 Davis 和 Peebles 的工作中忽略的压力项与源项，通过 Groth-Peebles 和 Fry-Peebles 假设闭合方程。
• 求解方程的线性化版本并应用于星系系统，区分局部聚集与大尺度结构。
• 分析初始条件、声速模型及参数对 ξ 和功率谱 Pk 的影响。

提出的方法

• 通过自引力流体的流体动力学方程应用泛函导数方法，推导出 ξ(r, t) 的非线性、双曲型、积分微分方程。
• 应用 Zel'dovich 近似将方程简化为涉及三阶与四阶相关函数的形式。
• 利用 Groth-Peebles 和 Fry-Peebles 假设闭合系统，引入压力项与狄拉克 δ 函数源项。
• 在两种声速 cs 模型下求解方程的线性化版本，初始功率谱在 z = 7 时继承自光子声学振荡（BAO）经 Silk 阻尼后的结果。
• 使用格林函数分解将解分为齐次部分（由初始条件驱动）与非齐次部分（由源项驱动）。
• 进行傅里叶变换以获得功率谱 Pk，并分析其振荡与峰结构与声学振荡及 λJ 的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性引力与流体动力学作用下，相关函数 ξ(r, t) 在膨胀宇宙中如何演化？
• RQ2 观测到的星系相关函数中 100 Mpc 周期性隆起的起源是什么？
• RQ3 初始条件与声速模型如何影响 ξ 和 Pk 的增长与结构？
• RQ4 考虑到 ξ 和 Pk 中观测到的特征，声 horizons 在宇宙学中在多大程度上可作为标准标尺？
• RQ5 在大尺度结构背景下，Jeans 波长 λJ 与星系或星系团的质量尺度有何区别？

主要发现

• 线性解 ξ(r, z) 在小尺度（r ≲ 50 Mpc）表现出主峰，且 ξ ∝ r⁻¹，归因于由源项驱动的非齐次解。
• 在大尺度出现周期性隆起，间距约 100 Mpc，被识别为 Jeans 波长 λJ，受过密度 γ 与声速 cs 的调制。
• 功率谱 Pk 在 k ∼ 2π/λJ 处出现主峰，对应于 100 Mpc 隆起，且在高 k 区域出现多重振荡，源于演化中的声学振荡。
• 即使初始谱中无振荡，Pk 中的振荡也随时间演化而发展，表明初始功率谱在 z = 7 时已将 BAO 特征印入系统。
• 观测到的 100 Mpc 隆起间距更宜用 λJ 解释，而非声 horizons；声 horizons 因统计模糊与模型依赖性，不适合作为可靠距离标尺。
• 解的分解 ξ = ξ₁ + ξ₂ 表明，λJ 主导大尺度结构（ξ₂），而星系质量 m 主导局部聚集（ξ₁），澄清了标准形式 ξ = (r/r₀)⁻¹.⁷ 中的 r₀ 仅为经验参数，非物理相关长度。