[论文解读] The nonlinear Schrödinger equation: A mathematical model with its wide-ranging applications

N. Karjanto|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2019

Nonlinear Photonic Systems参考文献 97被引用 7

一句话总结

本文全面概述了非线性薛定谔方程（NLSE）作为色散介质中弱非线性、准单色波包的通用数学模型。通过流体力学、超导性、非线性光学和玻色-爱斯坦凝聚（BEC）等领域的启发式方法与多尺度方法推导出NLSE，展示了其可积性、守恒律以及在孤子和巨浪等现象中的广泛应用。

ABSTRACT

The nonlinear Schrödinger equation (NLSE) models the slowly varying envelope dynamics of a weakly nonlinear quasi-monochromatic wave packet in dispersive media. In the context of Bose-Einstein condensate (BEC), it is often referred to as the Gross-Pitaevskii equation (GPE). The NLSE is one example of integrable systems of a nonlinear partial differential equation (PDE) in $(1 + 1)$D and it possesses an infinite set of conservation laws. This nonlinear evolution equation arises in various physical settings and admits a wide range of applications, including but not limited to, surface gravity waves, superconductivity, nonlinear optics, and BEC. This chapter discusses not only the modeling aspect of the NLSE but also provides an overview of the applications in these four exciting research areas. The former features derivations of the NLSE heuristically and by employing the method of multiple-scale from other mathematical models as governing equations. Depending on how the variables are interpreted physically, the resulting NLSE can model a different dynamics of the wave packet. Furthermore, depending on the adopted assumptions and the chosen governing equations, each approach may provide different values for the corresponding dispersive and nonlinear coefficients.

研究动机与目标

• 呈现非线性色散波理论中非线性薛定谔方程（NLSE）作为基础模型的统一概述。
• 通过不同领域中的启发式与多尺度渐近方法，从基础物理方程推导NLSE。
• 在多个物理系统中展示NLSE的可积性、无限守恒律及孤子解。
• 突出NLSE在表面重力波、超导性、非线性光学和玻色-爱斯坦凝聚（BEC）中的关键应用。
• 通过一致的数学结构，确立NLSE作为跨越看似无关物理现象的统一框架。

提出的方法

• 通过引入弱非线性和慢包络调制，从线性薛定谔方程启发式地推导NLSE。
• 在每个物理背景中，系统地应用多尺度方法，从控制方程推导出时间与空间形式的NLSE。
• 以非线性克莱因-戈登方程为起点，推导超导性中的NLSE，将其与正弦-戈登孤子联系起来。
• 从麦克斯韦方程和亥姆霍兹方程推导非线性光学中的NLSE，用于建模克尔介质中脉冲的传播。
• 从相互作用玻色子的平均场理论推导玻色-爱斯坦凝聚（BEC）中的格罗斯-皮塔耶夫斯基方程（GPE），其非线性项为立方型。
• 应用Crank-Nicolson、谱分裂和有限差分等数值方法，求解时间相关与时间无关情况下的GPE。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在流体力学、超导性、非线性光学和BEC中，从基本物理方程系统地推导非线性薛定谔方程？
• RQ2 在不同应用中，NLSE中色散系数与非线性系数的物理解释是什么？
• RQ3 NLSE的可积性与无限守恒律在不同物理系统中如何体现？
• RQ4 在每个应用领域中，NLSE会涌现出哪些类型的局域波解（例如孤子、巨浪）？
• RQ5 NLSE在水波与超冷原子气体等截然不同的物理现象中，以何种方式充当通用模型？

主要发现

• NLSE普遍作为色散介质中缓慢变化、弱非线性波包的模型出现，通过多尺度渐近法从不同基础方程中推导得出。
• NLSE可通过反散射变换完全可积，并具有无限多组守恒律，确保孤子解的稳定性。
• 在表面重力波中，NLSE描述包络孤子与巨浪现象，其解在适当条件下呈现双曲正割分布。
• 在超导性中，从非线性克莱本-戈登方程推导出的NLSE支持与正弦-戈登模型相关的孤子解，用于描述约瑟夫森结中的磁通子。
• 在非线性光学中，从麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程推导出的NLSE可建模自相位调制与克尔非线性介质中光纤的孤子传播。
• 在BEC中，格罗斯-皮塔耶夫斯基方程（NLSE的一种形式）描述超冷原子云的平均场动力学，其解析解根据相互作用强度不同，分别呈现双曲正切（排斥作用）或正割（吸引作用）分布。