[论文解读] The normal symbol on Riemannian manifolds

Markus J. Pflaum|ArXiv.org|Dec 11, 1996

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 28

一句话总结

本文提出了一种在黎曼流形上伪微分算子的几何自然符号演算，采用正常符号（normal symbol），即取值于同态丛的余切丛上的光滑函数。它建立了一个基于积分的典范同构，将符号与光滑算子模的算子一一对应，从而在无需依赖主符号的前提下，实现了全局、坐标无关的椭圆性定义与参数解构造。

ABSTRACT

For an arbitrary Riemannian manifold $X$ and Hermitian vector bundles $E$ and $F$ over $X$ we define the notion of the normal symbol of a pseudodifferential operator $P$ from $E$ to $F$. The normal symbol of $P$ is a certain smooth function from the cotangent bundle $T^*X$ to the homomorphism bundle $Hom (E,F)$ and depends on the metric structures resp. the corresponding connections on $X$, $E$ and $F$. It is shown that by a natural integral formula the pseudodifferential operator $P$ can be recovered from its symbol. Thus, modulo smoothing operators resp. smoothing symbols, we receive a linear bijective correspondence between the space of symbols and the space of pseudodifferential operators on $X$. This correspondence comprises a natural transformation between appropriate functors. A formula for the asymptotic expansion of the product symbol of two pseudodifferential operators in terms of the symbols of its factors is given. Furthermore an expression for the symbol of the adjoint is derived. Finally the question of invertibility of pseudodifferential operators is considered. For that we use the normal symbol to establish a new and general notion of elliptic pseudodifferential operators on manifolds.

研究动机与目标

• 开发一种在黎曼流形上伪微分算子的全局、几何自然符号演算，避免对局部坐标的依赖。
• 通过显式积分公式定义符号映射及其逆，确保符号与模光滑算子的伪微分算子之间存在线性双射对应关系。
• 基于正常符号建立一种新的、内在的伪微分算子椭圆性概念，推广经典椭圆性与Douglis-Nirenberg椭圆性。
• 推导该演算框架下两个算子的伴随算子与乘积符号的显式公式。
• 通过正常符号框架实现对非经典或非齐次椭圆算子的参数解构造。

提出的方法

• 将伪微分算子的正常符号定义为余切丛上取值于同态丛的光滑截面，利用与度量相容的相位函数构造。
• 使用典范积分表示从其正常符号恢复伪微分算子，从而提供符号映射的逆。
• 通过符号演算中的渐近展开，推导两个算子复合符号的乘积展开公式。
• 利用度量结构与符号映射的性质，推导伴随算子符号的公式。
• 提出一种基于正常符号模光滑符号可逆性的新椭圆性概念，取代对主符号的依赖。
• 将该演算应用于证明Douglis-Nirenberg椭圆系统在此新意义下为椭圆的，并通过符号演算构造其参数解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构造一种避免局部坐标依赖的、在黎曼流形上伪微分算子的全局、几何自然符号演算？
• RQ2 是否存在一个典范积分公式，能从符号重建伪微分算子，从而在模光滑算子的意义下建立与符号之间的双射对应？
• RQ3 能否利用正常符号定义一种新的、内在的椭圆性概念，使其推广经典与Douglis-Nirenberg椭圆性？
• RQ4 在此演算中，两个伪微分算子的伴随算子与乘积的符号是否存在显式公式？
• RQ5 该符号演算是否允许对非经典或非齐次椭圆算子构造参数解？

主要发现

• 正常符号是余切丛上取值于同态丛的光滑函数，其由流形及向量丛上的度量与联络唯一确定。
• 存在一个典范积分公式，能从正常符号重建伪微分算子，从而在符号空间与模光滑算子的伪微分算子空间之间建立线性双射对应。
• 伴随算子的符号可显式用正常符号与度量结构表示，推广了欧氏情形的结果。
• 两个算子乘积的符号可展开为因子符号的渐近级数，其显式系数由该演算导出。
• 伪微分算子为椭圆的充要条件是其正常符号模光滑符号可逆，从而提供了一种全局、几何的椭圆性判别准则。
• 该框架将经典与Douglis-Nirenberg椭圆性概念作为特例包含在内，并允许对非经典椭圆系统构造参数解。