[论文解读] The Normalization of Perturbative String Amplitudes: Weyl Covariance and Zeta Function Regularization

Shyamoli Chaudhuri|ArXiv.org|Sep 2, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 26被引用 9

一句话总结

本文对波利钦1986年关于利用zeta函数正则化和Weyl协变性对微扰弦振幅进行归一化的分析提供了教学性综述。它表明，弦理论中的真空能量和散射振幅可明确地以弦尺度 $ m_s $ 和无量纲弦耦合常数 $ g $ 表示，同时保持Weyl对称性和微分同胚对称性，其关键应用包括D膜张力和I型与II型弦理论中有效场论的构建。

ABSTRACT

This is a self-contained pedagogical review of Polchinski's 1986 analysis from first principles of the Polyakov path integral based on Hawking's zeta function regularization technique for scale-invariant computations in two-dimensional quantum gravity, an approach that can be adapted to any of the perturbative string theories. In particular, we point out the physical significance of preserving both Weyl and global diffeomorphism invariance while taking the low energy field theory limit of scattering amplitudes in an open and closed string theory, giving a brief discussion of some physics applications. We review the path integral computation of the pointlike off-shell closed bosonic string propagator due to Cohen, Moore, Nelson, and Polchinski. The extension of their methodology to the case of the macroscopic loop propagator in an embedding flat spacetime geometry has been given by Chaudhuri, Chen, and Novak. We examine the macroscopic loop amplitude from the perspective of both the target spacetime massive type II supergravity theory, and the boundary state formalism of the worldsheet conformal field theory, clarifying the precise evidence it provides for a Dirichlet (-2)brane, an identification made by Chaudhuri. The appendices contain extensive detail.

研究动机与目标

• 提供波利钦1986年关于微扰弦振幅归一化的自包含教学性综述。
• 阐明在开弦与闭弦理论低能有效场论极限中，保持Weyl对称性和全局微分同胚对称性的物理意义。
• 将科恩、摩根、尼尔森和波利钦的方法扩展至平坦时空中的宏观环振幅，将其与目标空间超引力及边界态形式体系联系起来。
• 证明世界体积有效拉格朗日量中的耦合常数可明确地以 $ m_s $ 和模参数表示，采用保持对称性的方法处理模积分。
• 确立zeta函数正则化在维持Weyl对称性及确保振幅明确归一化中的作用，即使在存在D膜或背景场的情况下亦成立。

提出的方法

• 利用霍金的zeta函数正则化技术计算二维量子重力中的路径积分，确保结果具有尺度不变性且有限。
• 应用协变路径积分技术处理超对称、非定向、开弦与闭弦I型弦理论的一环振幅，包括外部二形式场。
• 利用模不变性与被积函数的泰勒展开提取渐近行为，而不破坏重参数化对称性，从而保持Weyl和微分同胚对称性。
• 计算环面世界面上拉普拉斯算子与矢量拉普拉斯算子的函数行列式，包含边界模式与度规形变的贡献。
• 通过路径积分推导宏观环振幅，引入预因子 $ L^{-1}(4 au^2 au)^{1/2} $ 以考虑边界微分同胚零模。
• 利用边界态形式体系与目标空间大质量II型超引力，将宏观环振幅解释为Dirichlet (-2)-膜存在的证据。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在保持Weyl对称性和微分同胚对称性的同时，利用zeta函数正则化对微扰弦振幅进行明确归一化？
• RQ2 在弦散射振幅的低能有效场论极限中，同时保持Weyl对称性和全局微分同胚对称性的物理意义是什么？
• RQ3 平坦时空几何中的宏观环振幅如何为II型弦理论中Dirichlet (-2)-膜的存在提供证据？
• RQ4 开弦世界体积有效拉格朗日量中的耦合常数能否从未知的弦散射振幅中明确推导出，包括数值因子？
• RQ5 在环面上矢量拉普拉斯算子的函数行列式在单圈振幅归一化中起什么作用？

主要发现

• 微扰弦理论中的真空能量可明确地以弦尺度 $ m_s $ 和无量纲弦耦合常数 $ g = e^{ heta_0} $ 表示，不包含任意数值因子。
• 宏观环振幅的路径积分计算得到预因子 $ L^{-1}(4 au^2 au)^{1/2} $，该因子考虑了边界微分同胚零模，确保了正确的归一化。
• 环面上矢量拉普拉斯算子的函数行列式贡献因子 $ (2t)^{-1} \text{det}' \nabla $，其中无穷乘积通过zeta函数正则化计算得出。
• 宏观环的单圈振幅形式为 $ \frac{1}{L}(4\tau^2\tau)^{1/2} \frac{1}{2t} \tau^{-12} \text{Im} \theta(it)^{-24} e^{-R^2 t / 2\tau} $，其 $ \tau $-依赖性与已知结果一致。
• 该振幅在Weyl变换和微分同胚变换下保持不变，证实了归一化是明确的，且不因对称性破缺而产生歧义。
• 该分析确认，平坦时空中的宏观环振幅为Dirichlet (-2)-膜的存在提供了证据，与乔杜里通过世界面CFT与目标空间超引力一致匹配的结果相符。