[论文解读] THE NOTIONS OF DISTANCE AND VELOCITY MODULUS IN THE LINEAR FINSLER SPACES

D. G. Pavlov, G. I. Garas|arXiv (Cornell University)|Aug 15, 2005

Advanced Differential Geometry Research被引用 8

一句话总结

本文推导了在具有Berwald-Moor度量的四维线性Finsler空间中三维距离与速度模量的公式，使用类似于狭义相对论的相对同时性曲面。结果表明，在低速时速度模量退化为伽利略形式，而在最大（光信号）速度时等于单位一，速度变换在坐标轴方向上退化为洛伦兹变换，但在横向方向上存在差异。

ABSTRACT

The formulas for the 3-dimensional distance and the velocity modulus in the 4-dimensional linear space with the Berwald-Moor metrics are obtained. The used algorithm is applicable both for the Minkowski space and for the arbitrary poly-linear Finsler space in which the time-like component could be chosen. The constructed here modulus of the 3-dimensional velocity in the space with the Berwald-Moor metrics coincides with the corresponding expression in the Galilean space at small (non-relativistic) velocities, while at maximal velocities, i.e. for the world lines lying on the surface of the cone of future, this modulus is equal to unity. To construct the 3-dimensional distance, the notion of the surface of the relative simultaneity is used which is analogous to the corresponding speculations in special relativity. The formulas for the velocity transformation when one pass from one inertial frame to another are obtained. In case when both velocities are directed along one of the three selected straight lines, the obtained relations coincide with the analogous relations of special relativity, but they difier in other cases. Besides, the expressions for the transformations that play the same role as Lorentz transformations in the Minkowski space are obtained. It was found that if the three space coordinate axis are straight lines along which the velocities are added as in special relativity, then taking the velocity of the new inertial frame collinear to the one of these coordinate axis, one can see that the transformation of this coordinate and time coordinate coincide with Lorentz transformations, while the transformations of the two transversal coordinates difier from the corresponding Lorentz transformations.

研究动机与目标

• 将距离与速度模量的概念推广至具有Berwald-Moor度量的线性Finsler空间。
• 通过类似于狭义相对论的同时性约定，定义一个三维距离的相对同时性曲面。
• 推导此类空间中的速度变换定律，使其在特定情况下退化为狭义相对论形式。
• 识别出类似于洛伦兹变换的变换，并与标准洛伦兹形式进行比较。

提出的方法

• 使用四维线性Finsler空间中的Berwald-Moor度量来定义几何量。
• 引入相对同时性曲面以定义三维距离，其方式类似于相对论中的同时性约定。
• 推导惯性参考系之间转换的速度变换，显式依赖于相对于坐标轴的方向。
• 将沿坐标轴方向的变换与洛伦兹变换进行比较，并识别出横向分量中的偏差。
• 分析假设度量结构中可一致选择类时分量。
• 该形式化方法同时适用于闵可夫斯基空间与一般多项式线性Finsler空间。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有Berwald-Moor度量的四维Finsler空间中一致地定义三维距离？
• RQ2 此类空间中的速度模量形式为何？其在非相对论速度与最大速度下的行为如何？
• RQ3 该Finsler框架中的速度变换与狭义相对论中的变换相比，特别是在横向方向上，有何异同？
• RQ4 是否存在类似于洛伦兹变换的变换？它们与标准洛伦兹形式有何不同？
• RQ5 在何种条件下，所推导的变换退化为标准洛伦兹变换？

主要发现

• 在低速（非相对论）情况下，三维速度模量与伽利略表达式一致。
• 在最大速度时——对应于未来光锥上的世界线——速度模量等于单位一。
• 当速度与选定的三个坐标轴之一对齐时，所推导的速度变换与狭义相对论中的结果一致。
• 对于横向速度分量，即使参考系速度与坐标轴对齐，所推导的变换仍与洛伦兹变换不同。
• 沿运动方向的坐标与时间的变换与洛伦兹变换一致，但两个横向坐标变换方式不同。
• 该形式化方法为具有Berwald-Moor度量的线性Finsler空间中的距离与速度提供了自洽的几何框架，以非洛伦兹方式扩展了狭义相对论，尤其体现在横向分量上。