[论文解读] The Novikov conjecture, the group of volume preserving diffeomorphisms and Hilbert-Hadamard spaces

Sherry Gong, Jianchao Wu+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2018

Advanced Operator Algebra Research参考文献 28被引用 7

一句话总结

本文证明了离散群在可容许希尔伯特-哈达玛空间上适当等距作用时的有理强诺维科夫猜想——此类空间为非正曲率的、可能无限维的度量空间，且具有有限维黎曼子流形的稠密序列。关键结果表明，此类群的有理鲍姆-康尼斯装配映射是单射，将卡斯帕罗夫定理推广至无限维情形，并由此推出体积保持微分同胚群的几何离散子群满足诺维科夫猜想。

ABSTRACT

We prove that the Novikov conjecture holds for any discrete group admitting an isometric and metrically proper action on an admissible Hilbert-Hadamard space. Admissible Hilbert-Hadamard spaces are a class of (possibly infinite-dimensional) non-positively curved metric spaces that contain dense sequences of closed convex subsets isometric to Riemannian manifolds. Examples of admissible Hilbert-Hadamard spaces include Hilbert spaces, certain simply connected and non-positively curved Riemannian-Hilbertian manifolds and infinite\-/dimensional symmetric spaces. Thus our main theorem can be considered as an infinite-dimensional analogue of Kasparov's theorem on the Novikov conjecture for groups acting properly and isometrically on complete, simply connected and non-positively curved manifolds. As a consequence, we show that the Novikov conjecture holds for geometrically discrete subgroups of the group of volume preserving diffeomorphisms of a closed smooth manifold. This result is inspired by Connes' theorem that the Novikov conjecture holds for higher signatures associated to the Gelfand-Fuchs classes of groups of diffeormorphisms.

研究动机与目标

• 建立离散群在可容许希尔伯特-哈达玛空间上适当等距作用时的诺维科夫猜想。
• 将卡斯帕罗夫关于群在有限维非正曲率流形上作用时的诺维科夫猜想结果，推广至无限维类比情形。
• 证明闭光滑流形上体积保持微分同胚群的几何离散子群的有理强诺维科夫猜想。
• 利用 $C^*$-代数与 $KK$-理论，构建非交换几何框架，以分析无限维度量空间上的等距群作用。
• 证明映射到希尔伯特-哈达玛空间的 $L^2$-空间无法通过曲率障碍论证，等距同胚于黎曼-希尔伯特流形。

提出的方法

• 将可容许希尔伯特-哈达玛空间定义为完备、单连通、满足 CAT(0) 的度量空间，且存在稠密的闭凸子集序列，每个子集等距同胚于有限维黎曼流形。
• 为希尔伯特-哈达玛空间 $M$ 构造一个 $C^*$-代数 $\mathcal{A}(M)$，通过 $L^2$-黎曼度量编码其几何结构。
• 利用 $M$ 上的等距群作用诱导 $\mathcal{A}(M)$ 上的自同态，将群作用与 $C^*$-代数的 $K$-理论联系起来。
• 通过可测划分和可测集上指标化的向量场，分析映射到 $M$ 的 $L^2$-空间的切空间结构。
• 在 $L^2$-空间的切空间中构造向量序列，其生成的曲率张量发散至 $-\infty$，若该空间为黎曼-希尔伯特流形则违反连续性。
• 通过黎曼曲率张量应用曲率障碍论证，证明 $L^2(Y,\mu,M)$ 无法等距同胚于黎曼-希尔伯特流形，从而证明非嵌入性并支持主定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过适当的等距群作用，将诺维科夫猜想推广至无限维非正曲率度量空间？
• RQ2 体积保持微分同胚群的几何离散子群是否满足有理强诺维科夫猜想？
• RQ3 在特定几何条件下，映射到希尔伯特-哈达玛空间的 $L^2$-空间是否可能等距同胚于黎曼-希尔伯特流形？
• RQ4 能否利用映射到非正曲率空间的 $L^2$-空间中的基于曲率的障碍，证明其无法嵌入黎曼-希尔伯特流形？
• RQ5 可容许希尔伯特-哈达玛空间上的适当等距群作用与有理鲍姆-康尼斯装配映射的单射性之间有何关系？

主要发现

• 任何在可容许希尔伯特-哈达玛空间上适当等距作用的离散群，其有理强诺维科夫猜想成立。
• 对于此类群，有理鲍姆-康尼斯装配映射 $\mu: K_*(B\Gamma) \otimes \mathbb{Q} \to K_*(C^*_r\Gamma) \otimes \mathbb{Q}$ 是单射。
• 映射到希尔伯特-哈达玛空间 $M$ 的 $L^2$-空间 $L^2(Y,\mu,M)$ 无法等距同胚于黎曼-希尔伯特流形，其曲率发散已得证明。
• 在 $L^2(Y,\mu,M)$ 的切空间中，一组向量生成的黎曼曲率张量的截面曲率趋于 $-\infty$，违反了黎曼-希尔伯特流形结构所要求的连续性。
• 闭光滑流形上体积保持微分同胚群的几何离散子群满足诺维科夫猜想。
• 该结果为卡斯帕罗夫定理在群作用于有限维、单连通、非正曲率流形情形下的无限维类比。