[论文解读] The number of 1...d-avoiding permutations of length d+r for SYMBOLIC d but numeric r

Shalosh B. Ekhad, Nathaniel Shar+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2015

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 3被引用 3

一句话总结

本论文提出了一种符号-计算方法，用于计算长度为 $ d + r $ 且不包含长度为 $ d $ 的递增子序列的排列数，其中 $ d $ 为符号变量，$ r $ 为数值。通过 Robinson-Schensted 对应关系与改进的钩长公式，作者推导出 $ B_d(d+r) $ 的显式多项式表达式，即包含长度为 $ d $ 的递增子序列的此类排列数，并利用 Ira Gessel 的行列式公式结合截断的贝塞尔函数，高效计算了 $ d \leq 20 $ 时 $ G_d(n) $ 的前 100 项。其主要贡献是一个算法框架，使得这些组合序列的精确符号计算得以实现，突破了暴力枚举方法的局限。

ABSTRACT

We use the Robinson-Schensted correspondence, followed by symbol-crunching, in order to derive explicit expressions for the quantities mentioned in the title. We follow it by number crunching, in order to compute the first terms of these sequences. As an encore, we cleverly implement Ira Gessel's celebrated determinant formula for the generating functions of these sequences, to crank out many terms. This modest tribute is dedicated to one of the greatest enumerators alive today (and definitely the most modest one!), Ira Martin Gessel, who is turning 64 years-old today

研究动机与目标

• 开发一种方法，用于计算长度为 $ d + r $ 且不包含长度为 $ d $ 的递增子序列的排列数，其中 $ d $ 为符号变量，$ r $ 为固定数值。
• 通过符号代数与生成函数，将组合枚举的范围扩展至传统阶乘计算方法无法企及的领域。
• 为计算序列 $ G_d(n) $ 的前 100 项（即避免长度为 $ d $ 的递增子序列的排列数）提供高效算法实现，其中 $ d \leq 20 $。

提出的方法

• 利用 Robinson-Schensted 对应关系将排列与标准杨表联系起来，并将 $ B_d(d+r) $ 表示为具有至少 $ d $ 行和 $ d + r $ 个方格的杨图之和。
• 应用钩长公式，将形状为 $ \lambda $ 的标准杨表数量 $ f_\lambda $ 表示为 $ d $ 的有理函数，从而实现符号化简化。
• 通过大小不超过 $ r $ 的核心图 $ \mu $ 参数化大小为 $ d + r $ 且至少有 $ d $ 行的杨图，从而在 $ r $ 固定时实现有限枚举。
• 推导出钩长乘积的闭式表达式，其形式为 $ f_\mu $、关于 $ d $ 的多项式以及下降阶乘的乘积，从而得到 $ f_\lambda^2 $ 关于 $ d $ 的多项式。
• 利用 Ira Gessel 的行列式公式，其中涉及修正贝塞尔函数 $ I_{|i-j|}(2x) $，并截断至次数 $ 2N $，以计算生成函数 $ \sum_{n \geq 0} \frac{G_d(n)}{n!^2} x^{2n} $。
• 在计算机代数系统（Maple）中实现一种无需除法的行列式算法，使用自定义环结构，以符号化且高效的方式计算 $ G_d(n) $ 的前 $ N $ 项的行列式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于固定的 $ r $，长度为 $ d + r $ 且包含长度为 $ d $ 的递增子序列的排列数是否可表示为关于 $ d $ 的多项式？
• RQ2 序列 $ G_d(n) $（即长度为 $ n $ 且避免长度为 $ d $ 的递增子序列的排列数）的生成函数具有何种结构？
• RQ3 如何在计算机代数系统中高效实现 Gessel 的行列式公式，以计算 $ d $ 较大时 $ G_d(n) $ 的前 $ N $ 项？
• RQ4 使用符号行列式计算结合截断贝塞尔函数，是否可行计算 $ d \leq 20 $ 时 $ G_d(n) $ 的前 100 项？
• RQ5 使用当前符号方法计算 $ G_d(n) $ 超过前 $ 2d+1 $ 项时，其时间复杂度如何？

主要发现

• 对于 $ r = 0 $ 到 $ 5 $，作者推导出 $ B_d(d+r) $ 的显式多项式表达式，即长度为 $ d + r $ 且包含长度为 $ d $ 的递增子序列的排列数，其次数范围为 2 到 10。
• 当 $ r = 1 $ 时，$ B_d(d+1) $ 的多项式为 $ d^2 + 1 $；当 $ r = 2 $ 时，其为 $ \frac{1}{2}d^4 + d^3 + \frac{1}{2}d^2 + d + 3 $，显示出关于 $ d $ 的系统性代数结构。
• 该方法可高效计算 $ d \leq 20 $ 时 $ G_d(n) $ 的前 100 项，其中 $ d = 20 $ 的计算耗时 4507 秒，使用 Maple 包 Gessel64 实现。
• 序列 $ G_3(n) $ 对应卡塔兰数（A000108），而 $ G_4(n) $、$ G_5(n) $ 等为已知整数序列（A005802、A047889 等），验证了方法的正确性。
• 通过在 Maple 中实现 Gessel 的行列式公式，结合截断贝塞尔函数与自定义环结构，实现了高效的符号行列式计算，避免了朴素方法导致的指数级膨胀。
• 作者成功计算了 $ d \leq 20 $ 且 $ n \leq 100 $ 时的 $ G_d(n) $，证明了该方法在超越早期方法 $ 2d+1 $ 项限制方面的可扩展性。