[论文解读] The number of $C_{2l}$-free graphs

Robert Morris, David Saxton|arXiv (Cornell University)|Sep 11, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 24被引用 8

一句话总结

该论文解决了Erdős长期以来的一个猜想，证明了在 $n$ 个顶点上，$C_{2 heta}$-free 图的数量最多为 $2^{O(n^{1+1/ heta})}$，方法是结合超图容器法与一个关于偶圈的新平衡超饱和定理。此外，该论文否定了一个自然猜想，即 $C_6$-free 图的数量为 $2^{(1+o(1))\textup{ex}(n,C_6)}$，表明对于某个 $c>0$ 和无穷多个 $n$，此类图的数量至少为 $2^{(1+c)\textup{ex}(n,C_6)}$，并解决了在 Erdős-Rényi 随机图 $G(n,p)$ 上关于偶圈和完全二分图的 Turán 问题。

ABSTRACT

One of the most basic questions one can ask about a graph $H$ is: how many $H$-free graphs on $n$ vertices are there? For non-bipartite $H$, the answer to this question has been well-understood since 1986, when Erdős, Frankl and Rödl proved that there are $2^{(1 + o(1)) ex(n,H)}$ such graphs. For bipartite graphs, however, much less is known: even the weaker bound $2^{O(ex(n,H))}$ has been proven in only a few special cases: for cycles of length four and six, and for some complete bipartite graphs. For even cycles, Bondy and Simonovits proved in the 1970s that ex$(n,C_{2l}) = O( n^{1 + 1/l} )$, and this bound is conjectured to be sharp up to the implicit constant. In this paper we prove that the number of $C_{2l}$-free graphs on $n$ vertices is at most $2^{O(n^{1 + 1/l})}$, confirming a conjecture of Erdős. Our proof uses the hypergraph container method, which was developed recently (and independently) by Balogh, Morris and Samotij, and by Saxton and Thomason, together with a new 'balanced supersaturation theorem' for even cycles. We moreover show that there are at least $2^{(1 + c)ex(n,C_6)}$ $C_6$-free graphs on $n$ vertices for some $c > 0$ and infinitely many values of $n$, disproving a well-known and natural conjecture. As a further application of our method, we essentially resolve the so-called Turán problem on the Erdős-Rényi random graph $G(n,p)$ for both even cycles and complete bipartite graphs.

研究动机与目标

• 确定 $n$ 个顶点上 $C_{2 heta}$-free 图的渐近数量，这是极值图论中的一个核心问题。
• 解决Erdős猜想，即 $C_{2 heta}$-free 图的数量最多为 $2^{O(n^{1+1/ heta})}$，从而确认偶圈的极值函数的数量级。
• 通过为 $H = C_6$ 构造超指数下界，否定了广泛持有的猜想，即对所有二分图 $H$，$H$-free 图的数量为 $2^{(1+o(1))\textup{ex}(n,H)}$。
• 将超图容器法应用于解决 Erdős-Rényi 随机图 $G(n,p)$ 上偶圈和完全二分图的 Turán 问题，对所有 $p$ 获得近乎最优的界。

提出的方法

• 作者采用由 Balogh、Morris、Samotij 以及 Saxton 和 Thomason 最近发展的超图容器法，来界定 $H$-free 图的数量。
• 他们提出一个关于偶圈的新“平衡超饱和定理”，确保稠密子图中包含大量 $C_{2 heta}$ 的副本，从而实现高效的容器构造。
• 该方法依赖于对图中度分布和邻域扩张的细致分析，以控制编码禁止子图的超图中独立集的数量。
• 证明利用了凸性和对顶点邻域的平均值论证，推导出诱导出完全二分图子图 $K_{s,t}$ 的“好对” $(S,T)$ 的数量下界，这些子图在容器中未被饱和。
• 一个关键技术步骤是证明：对于典型的 $s$-集合 $S$，使得 $(S,v)$ 为“好”的顶点集合 $\mathcal{M}(S)$ 的大小为 $\Omega(k^s)$，从而可构造出大量 $K_{s,t}$-free 子图。
• 该框架被推广至任何具有平衡超饱和性质的二分图，使其应用范围不仅限于偶圈。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $n$ 个顶点上，$C_{2 heta}$-free 圖的数量是否最多为 $2^{O(n^{1+1/ heta})}$，正如 Erdős 所猜想的？
• RQ2 自然猜想是否成立，即对所有二分图 $H$（包括 $H = C_6$），$H$-free 圖的数量为 $2^{(1+o(1))\textup{ex}(n,H)}$？
• RQ3 超图容器法能否被扩展，以对具有次二次极值函数的二分图 $H$，提供 $H$-free 图数量的紧致界？
• RQ4 在 Erdős-Rényi 随机图 $G(n,p)$ 上，关于偶圈和完全二分图的 Turán 问题的正确界是什么？

主要发现

• 在 $n$ 个顶点上，$C_{2 heta}$-free 圖的数量最多为 $2^{O(n^{1+1/ heta})}$，从而确认了 Erdős 对所有偶圈的猜想。
• 对于 $H = C_6$，存在至少 $2^{(1+c)\textup{ex}(n,C_6)}$ 个 $C_6$-free 圖，其中 $c>0$ 且对无穷多个 $n$ 成立，从而否定了该数量为 $2^{(1+o(1))\textup{ex}(n,C_6)}$ 的猜想。
• 结合新的平衡超饱和定理，超图容器法为 $K_{s,t}$-free 图的数量提供了紧致界，当 $2 \leq s \leq t$ 时，$K_{s,t}$-free 圖的数量界为 $2^{O(n^{2-1/s})}$。
• 该方法解决了 $G(n,p)$ 上偶圈和完全二分图的 Turán 问题，对所有 $p$ 值提供了近乎最优的界。
• 该框架适用于任何具有平衡超饱和性质的二分图，表明其应用范围远超本文研究的具体情形。