[论文解读] The number of closed ideals in $L(L_p)$

William B. Johnson, Gideon Schechtman|arXiv (Cornell University)|Mar 25, 2020

Advanced Banach Space Theory参考文献 11被引用 4

一句话总结

该论文通过证明当 $ 1 < p \neq 2 < \infty $ 时，Banach 代数 $ L(L_p) $ 恰好包含 $ 2^{2^{ aleph_0}} $ 个不同的闭理想，解决了算子理论中一个长期存在的问题。作者利用 Rosenthal 的 $ \mathfrak{X}_q $ 空间（其中 $ 1 < q < 2 $）上的一种特殊算子，构造了一类新的大而非奇异的理想，其渐近性质生成了一个与此前已知理想（包括包含严格紧算子的理想）不同的连续统理想。

ABSTRACT

We show that there are $2^{2^{\aleph_0}}$ different closed ideals in the Banach algebra $L(L_p(0,1))$, $1

研究动机与目标

• 解决 A. Pietsch 于 1978 年提出的关于 $ 1 < p \neq 2 < \infty $ 时 $ L(L_p) $ 中闭理想数量的开放问题。
• 构造 $ L(L_p) $ 中新的大闭理想，这些理想不包含于严格紧算子中，且不包含非希尔伯特子空间上的投影。
• 建立一个一般性准则，用于判断具有无条件基的 Banach 空间是否可通过具有特定渐近行为的单个算子，容纳 $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 个闭理想。
• 证明当 $ 1 < q < 2 $ 时，Rosenthal 的 $ \mathfrak{X}_q $ 空间支持此类算子，从而实现完整理想连续统的构造。
• 证明 $ L(L_p) $ 同样恰好包含 $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 个小型（严格紧）闭理想，利用对偶性和补子空间性质。

提出的方法

• 引入一族 $ \mathcal{C} $，包含 $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 个 $ \mathbb{N} $ 的无限子集，其两两之间仅有限相交，用以索引理想。
• 在 $ \mathfrak{X}_q $ 上定义一个特殊算子 $ T $，其渐近性质可确保由 $ \alpha \in \mathcal{C} $ 索引的算子 $ T_\alpha $ 生成互不相同的闭理想。
• 利用因子化常数 $ \gamma_2(T) $ 和 Banach–Mazur 距离，控制 $ T $ 在 $ \mathfrak{X}_q $ 的块子空间上的渐近行为。
• 构造一个同构于 $ \ell_q $ 的补子空间 $ Y \subset \mathfrak{X}_q $，并定义算子 $ U: Y \to \mathfrak{X}_q $，使其在块子空间上为恒等映射，以保持范数和结构。
• 应用对偶性和补子空间性质：由于 $ \mathfrak{X}_q \subset L_q $，且当 $ 1/p + 1/q = 1 $ 时 $ L_p $ 是 $ L_q $ 的对偶，因此结果可从 $ \mathfrak{X}_q $ 推广至 $ L_p $。
• 通过反证法，结合不属于某些理想闭包的严格紧算子，证明所构造的理想不包含严格紧算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ 1 < p \neq 2 < \infty $ 时，$ L(L_p) $ 是否包含一个连续统的闭理想？
• RQ2 能否构造出 $ L(L_p) $ 中不包含于严格紧算子且不包含非希尔伯特子空间上投影的大闭理想？
• RQ3 是否存在一个一般性准则，使得具有无条件基的 Banach 空间可通过存在一个具有特定渐近性质的单个算子，容纳 $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 个闭理想？
• RQ4 在 $ L(L_p) $ 中构造出的理想是否包含严格紧算子？
• RQ5 $ L(L_p) $ 包含多少个小型（严格紧）闭理想？

主要发现

• 当 $ 1 < p \neq 2 < \infty $ 时，Banach 代数 $ L(L_p) $ 恰好包含 $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 个不同的闭理想。
• 所构造的理想是大的，但不包含于严格紧算子中，且不包含同构于 $ \ell_p $ 的子空间上的投影。
• 这些理想不包含于 $ \overline{\Gamma_2}(L_p) $，即通过希尔伯特空间因子化的算子的闭包，实际上 $ \overline{\Gamma_2}(L_p) $ 也不包含严格紧算子。
• 当 $ 1 < q < 2 $ 时，空间 $ \mathfrak{X}_q $ 允许存在一个具有所需渐近性质的算子 $ T $，从而在 $ L(\mathfrak{X}_q) $ 中生成 $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 个不同的理想。
• 通过 duality 和 complementation，同样的结果也适用于 $ L(L_p) $，其中 $ 1 < p \neq 2 < \infty $。
• 空间 $ L(L_p) $ 同样恰好包含 $ 2^{2^{\aleph_0}} $ 个小型闭理想，即严格紧算子，从而解决了另一个开放问题。