[论文解读] The number of composition factors of order $p$ in completely reducible groups of characteristic $p$

Michael Giudici, S. P. Glasby+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 25, 2016

Finite Group Theory Research参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文建立了有限域特征为 $ p $ 的完全可约线性群中，阶为 $ p $ 的合成因子数量的上界。利用 Aschbacher 的分类和归纳法，证明了 $ c_p(G) \bigackslashbracevert \leq \frac{\varepsilon_q d - r}{p-1} $，其中 $ \varepsilon_q \in \{1, \frac{p}{p-1}, \frac{4}{3}\} $，并表明该上界对每个 $ q $ 无限多次达到精确，即为最优。

ABSTRACT

Let $q$ be a power of a prime $p$ and let $G$ be a completely reducible subgroup of $\\mathrm{GL}(d,q)$. We prove that the number of composition factors of $G$ that have prime order $p$ is at most $(\\varepsilon_q d-1)/(p-1)$, where $\\varepsilon_q$ is a function of $q$ satisfying $1\\leqslant\\varepsilon_q\\leqslant 3/2$. For every $q$, we give examples showing this bound is sharp infinitely often.

研究动机与目标

• 确定 $ \mathrm{GL}(d, q) $ 的完全可约子群中阶为 $ p $ 的合成因子的最大数量，其中 $ q = p^f $。
• 建立 $ c_p(G) $（即阶为 $ p $ 的合成因子数量）的紧致上界，该上界依赖于 $ d $、$ p $ 和函数 $ \varepsilon_q $。
• 证明该上界对每个素幂 $ q $ 无限多次达到精确，从而表明 $ \varepsilon_q $ 的最优性。
• 将结果推广至商群 $ G/O_p(G) $，在自然模的合成系列中以合成因子数量为条件，给出更精细的上界。

提出的方法

• 对自然模的维数 $ d $ 进行归纳，利用 Clifford 定理和完全可约群的性质。
• 利用 Aschbacher 对 $ \mathrm{GL}(d, q) $ 子群的分类，将证明分为若干情形，特别处理涉及非几何作用的射影几乎单群的 $ \mathcal{C}_9 $ 情形。
• 通过 Legendre 公式对阶乘和群阶的 $ p $-部分进行估计：$ \log_p(r!)_{p} \leq \frac{r-1}{p-1} $。
• 通过子正规序列分析合成因子的结构，并利用恒等式 $ c_p(G) = \sum c_p(G_{i-1}/G_i) $。
• 利用同态 $ \phi: G \to \prod \mathrm{GL}(W_i) $，其中 $ W_i $ 是自然模的合成因子，将 $ c_p(G/O_p(G)) $ 与各不可约商群的 $ c_p(G_i) $ 之和联系起来。
• 根据 $ p $ 和 $ f $ 定义 $ \varepsilon_q $：若 $ p=2 $ 且 $ f $ 为偶数，则 $ \varepsilon_q = \frac{4}{3} $；若 $ p $ 为费马素数，则 $ \varepsilon_q = \frac{p}{p-1} $；否则 $ \varepsilon_q = 1 $，并证明该选择为最优。

实验结果

研究问题

• RQ1 完全可约子群 $ G \leq \mathrm{GL}(d, q) $ 中，阶为 $ p $ 的合成因子的最大数量是多少？
• RQ2 能否使 $ c_p(G) $ 的上界独立于 $ q = p^f $ 中的指数 $ f $？若能，最佳常数 $ \varepsilon_q $ 是什么？
• RQ3 上界 $ c_p(G) \leq \frac{\varepsilon_q d - r}{p-1} $ 是否对无限多个 $ d $ 和 $ q $ 达到精确？$ \varepsilon_q $ 是否最优？
• RQ4 自然模的合成系列结构如何影响 $ G/O_p(G) $ 中 $ p $-阶合成因子的数量？
• RQ5 当 $ G $ 为绝对不可约，或考虑中心积与投影时，该上界能否进一步改进？

主要发现

• 在具有 $ r $ 个不可约分量的完全可约子群 $ G \leq \mathrm{GL}(d, q) $ 中，阶为 $ p $ 的合成因子数量最多为 $ \frac{\varepsilon_q d - r}{p-1} $，其中 $ \varepsilon_q $ 依 $ p $ 和 $ f $ 而定义。
• 该上界对每个素幂 $ q $ 无限多次达到精确，表明 $ \varepsilon_q $ 无法进一步改进。
• 当 $ p = 2 $ 且 $ f $ 为偶数时，$ \varepsilon_q = \frac{4}{3} $，且该值为最优。
• 当 $ p $ 为费马素数时，$ \varepsilon_q = \frac{p}{p-1} $，且该值为最佳可能。
• 对所有其他 $ q $，$ \varepsilon_q = 1 $，且上界 $ \frac{d - r}{p - 1} $ 在无限多个情形下达到精确。
• 推论 9 将结果推广至 $ G/O_p(G) $，表明 $ c_p(G/O_p(G)) \leq \frac{\varepsilon_q d - r}{p - 1} $，其中 $ r $ 为自然模的合成系列中合成因子的数量。