[论文解读] The number of cycles of specified normalized length in permutations

Michael Lugo|ArXiv.org|Sep 16, 2009

Bayesian Methods and Mixture Models参考文献 7被引用 7

一句话总结

该论文推导了在 n → ∞ 时，随机排列中归一化长度的循环数的极限分布，表明当区间 [γn, δn] 满足 1/(k+1) ≤ γ < δ ≤ 1/k 时，其分布与参数为 Poisson( log(δ/γ) ) 的分布前 k 阶矩完全匹配。对于一般的 γ, δ，极限分布存在，并通过超立方体交集上的积分表征，尽管解析上难以处理，但可通过递推关系进行计算。

ABSTRACT

We compute the limiting distribution, as n approaches infinity, of the number of cycles of length between gamma n and delta n in a permutation of [n] chosen uniformly at random, for constants gamma, delta such that 1/(k+1) &lt;= gamma &lt; delta &lt;= 1/k for some integer k. This distribution is supported on {0, 1, ... k} and has 0th, 1st, ..., kth moments equal to those of a Poisson distribution with parameter log (delta/gamma). For more general choices of gamma, delta we show that such a limiting distribution exists, which can be given explicitly in terms of certain integrals over intersections of hypercubes with half-spaces; these integrals are analytically intractable but a recurrence specifying them can be given. The results herein provide a basis of comparison for similar statistics on restricted classes of permutations.

研究动机与目标

• 确定在 n → ∞ 时，均匀随机排列中长度位于 [γn, δn] 的循环数的极限分布。
• 表征该分布与泊松( log(δ/γ) )分布前 k 阶矩匹配的条件。
• 为一般 γ, δ 提供一种显式但解析上不可解的极限分布积分表示。
• 推导当 γ 和 δ 位于同一区间 [1/(k+1), 1/k] 时，计算该分布矩的递推关系。
• 为比较受限排列类（如仅含奇数或偶数长度循环的排列类）中的循环统计量奠定基础。

提出的方法

• 利用生成函数方法计算循环计数的阶乘矩，借助带循环计数加权的排列指数生成函数。
• 应用引理 1 计算循环计数的联合阶乘矩，表明当循环空间足够时，其与独立泊松变量的矩一致。
• 将 [γn, δn] 中总循环数的 r 阶阶乘矩表示为循环长度组合的和，极限下转化为多重积分。
• 将极限阶乘矩表示为单纯形 z₁ + ⋯ + zᵣ ≤ 1 且 zᵢ ∈ [γ, δ] 上的积分，形式为 ∫ (1/(z₁⋯zᵣ)) dz₁⋯dzᵣ。
• 基于积分区域的结构及其与超平面的交集，引入分布函数 Qₖ(γ) 的递推关系。
• 利用逆拉普拉斯变换与生成函数技术，将分布与 Buchstab 函数及 Dickman 函数联系起来，类比于数论中的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 n → ∞ 时，均匀随机排列中长度位于 [γn, δn] 的循环数的极限分布是什么？
• RQ2 在何种 γ 与 δ 条件下，该极限分布与泊松( log(δ/γ) )分布的前 k 阶矩匹配？
• RQ3 该极限分布能否以闭式表达？若不能，其解析形式是否不可解？若不可解，如何计算？
• RQ4 该极限分布的光滑性在临界点如 1/k 处如何变化？
• RQ5 排列中循环计数分布与整数分解中的类似分布（如 Buchstab 与 Dickman 函数）之间有何联系？

主要发现

• 当 1/(k+1) ≤ γ < δ ≤ 1/k 时，[γn, δn] 中循环数的极限分布与参数为 Poisson( log(δ/γ) ) 的分布具有相同的 0 阶至 k 阶矩。
• 极限 r 阶阶乘矩由积分 ∫_{z₁+⋯+zᵣ≤1, zᵢ∈[γ,δ]} (1/(z₁⋯zᵣ)) dz₁⋯dzᵣ 给出。
• 当 γ 与 δ 位于同一区间 [1/(k+1), 1/k] 时，极限分布的支撑集为 {0, 1, ..., k}，反映了此类循环可能存在的最大数量。
• 分布函数 Qₖ(γ) 在 γ = 1/k 处为 Cᵏ 但非 Cᵏ⁺¹，表明在这些点处光滑性丧失。
• 对于一般的 γ, δ，极限分布存在，并由积分结构导出的递推关系表征，但无法简化为初等函数。
• 结果可推广至 Ewens 分布，提示一个猜想：[γn, δn] 中循环数的极限分布收敛于参数为 λ = ∫_{γ}^{δ} (1/x)(1−x)^{σ−1} dx 的拟泊松分布。