[论文解读] The number of equivalent realisations of a rigid graph

Bill Jackson, J. C. Owen|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2012

Structural Analysis and Optimization参考文献 23被引用 10

一句话总结

本文研究了在 ℝ² 中，一个刚性图的通用实现的复数等价实现数量，证明该数量 c(G) 与特定的通用实现无关，仅取决于图的结构。它表明 c(G) 在某些图操作下保持不变，刻画了满足 c(G) = 1 的图，并证明了在 n 个顶点上的平面静定图至少具有 2^{n-3} 个两两等价的实实现。

ABSTRACT

Given a rigid realisation of a graph $G$ in ${\mathbb R}^2$, it is an open problem to determine the maximum number of pairwise non-congruent realisations which have the same edge lengths as the given realisation. This problem can be restated as finding the number of solutions of a related system of quadratic equations and in this context it is natural to consider the number of solutions in ${\mathbb C}^2$ rather that ${\mathbb R}^2$. We show that the number of complex solutions, $c(G)$, is the same for all generic realisations of a rigid graph $G$, characterise the graphs $G$ for which $c(G)=1$, and show that the problem of determining $c(G)$ can be reduced to the case when $G$ is $3$-connected and has no non-trivial $3$-edge-cuts. We consider the effect of the Henneberg moves and the vertex-splitting operation on $c(G)$. We use our results to determine $c(G)$ exactly for two important families of graphs, and show that the graphs in both families have $c(G)$ pairwise equivalent generic real realisations. We also show that every planar isostatic graph on $n$ vertices has at least $2^{n-3}$ pairwise equivalent real realisations.

研究动机与目标

• 确定一个刚性图在 ℝ² 中的通用实现的复数实现数量。
• 证明该数量 c(G) 对于给定刚性图 G 的所有通用实现都是相同的。
• 刻画满足 c(G) = 1 的图，表示在 ℂ² 中具有唯一通用实现。
• 分析图操作（如 Henneberg 移动和顶点分裂）对 c(G) 的影响。
• 为特定图族（尤其是平面静定图）建立两两等价实实现数量的下限。

提出的方法

• 将问题形式化为 ℝ² 中的二次方程组，并考虑其在 ℂ² 中的复数解，以获得一个行为良好的上界。
• 证明对于刚性图 G，复数解的数量 c(G) 与其通用实现的选择无关。
• 使用图论操作——特别是类型 1 和类型 2 的 Henneberg 移动以及顶点分裂——来分析 c(G) 在结构变化下的演化。
• 将问题简化为无非平凡三边割的 3-连通图，以简化分析。
• 应用通过两对顶点或三条边粘合图的结果，从子图的 c(G₁) 和 c(G₂) 计算 c(G)。
• 利用复共轭和 Minkowski 实现的奇偶性论证，分析实数解的结构及其数量。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个刚性图的通用实现的复数实现数量是否与实现的选择无关？
• RQ2 对于哪些图 G 满足 c(G) = 1，表示在 ℂ² 中具有唯一通用实现？
• RQ3 标准图操作（如 Henneberg 移动和顶点分裂）如何影响 c(G) 的值？
• RQ4 一个具有 n 个顶点的平面静定图至少具有多少个两两等价的实实现？
• RQ5 对于通用实现，实数实现数量 r(G,p) 是否可能等于复数实现数量 c(G)？

主要发现

• 所有刚性图 G 的通用实现的复数实现数量 c(G) 是相同的，使其成为图不变量。
• c(G) = 1 当且仅当 G 在 ℝ² 中是全局刚性的，将唯一实现的刻画扩展到复数域。
• 类型 1 的 Henneberg 移动使 c(G) 加倍，而对冗余边执行的类型 2 Henneberg 移动则保持 c(G) 不变。
• 当 G 是静定图时，顶点分裂操作使 c(G) 至少增加两倍，且该界适用于两两等价实实现的数量。
• 每个具有 n 个顶点的平面静定图至少具有 2^{n-3} 个两两等价的通用实实现。
• 对于二次可解图族以及具有连通刚性拟阵的图，c(G) 可精确计算，且所有 c(G) 个实现均为两两等价。