[论文解读] The number of geometrically distinct reversible closed geodesics on a Finsler sphere with $K\equiv 1$

Ming Xu|arXiv (Cornell University)|Jan 26, 2018

Advanced Differential Geometry Research参考文献 12被引用 3

一句话总结

本文研究了具有常数旗曲率 $K \equiv 1$ 且仅有有限多条原生闭测地线的 Finsler 球面上，几何上互异的可逆闭测地线的数量。通过李群作用、等距变换的固定点集以及等变 Morse 理论，证明了此类测地线的数量至少等于等距群恒同分支的维数。当该维数达到最大值 $[\frac{n+1}{2}]$ 时，几何上互异的闭测地线数量恰好为 $2[\frac{n+1}{2}]$，从而在该情形下证实了 Anosov 猜想。

ABSTRACT

In this paper we study the Finsler sphere $(S^n,F)$ with $n>1$, which has constant flag curvature $K\equiv 1$ and only finite prime closed geodesics. In this case, the connected isometry group $I_0(S^n,F)$ must be a torus which dimension satisfies $0

研究动机与目标

• 确定具有常数旗曲率 $K \equiv 1$ 且仅有有限多条原生闭测地线的 Finsler 球面上，几何上互异的可逆闭测地线的最小数量。
• 在该曲率与有限性条件下，研究连通等距群 $I_0(S^n, F)$ 的结构。
• 在等距群维数达到最大值的情况下，验证 Anosov 猜想——即至少存在 $2[\frac{n+1}{2}]$ 条原生闭测地线。
• 为 Katok 度量等例子中 $2[\frac{n+1}{2}]$ 条原生闭测地线的精确计数提供几何与拓扑解释。

提出的方法

• 利用对径映射 $\psi$ 分析旗曲率为 $K \equiv 1$ 的 Finsler 球面的几何性质，该映射作为 Clifford-Wolf 平移，将每一点移动距离 $\pi$。
• 应用固定点集理论研究等距变换的作用，表明非平凡等距变换的固定点集要么是两点的 $\psi$-轨道，要么是具有 $K \equiv 1$ 的全测地子流形。
• 利用等变 Morse 理论与 Leray-Serre 谱序列计算球面的 $T$-等变上同调，进而计算 $T$-等变欧拉示性数。
• 利用等距群 $I_0(S^n, F)$ 作为维数至多为 $[\frac{n+1}{2}]$ 的环面的结构，证明当该维数达到最大时，所有闭测地线均为可逆的，且几何上互异的测地线总数恰好为 $[\frac{n+1}{2}]$。
• 对等距变换的固定点集（特别是 $\psi^k$）应用归纳法与维数计数论证，排除在最大情形之外存在额外闭测地线的可能性。
• 利用 $T$-等变 Poincaré 多项式 $P_T(M;\mathbb{R},t)$ 是 $t^2$ 的多项式这一事实，推导出当 $n$ 为奇数时，$T$-等变欧拉示性数 $\chi_T(M;\mathbb{R})$ 等于 $[\frac{n+1}{2}]$，并通过反定向等距变换将结果推广至偶数 $n$ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 $K \equiv 1$ 且仅有有限多条原生闭测地线的 Finsler 球面上，几何上互异的可逆闭测地线的最小数量是多少？
• RQ2 等距群 $I_0(S^n, F)$ 的恒同分支的维数如何约束此类测地线的数量？
• RQ3 在何种条件下，几何上互异的闭测地线数量恰好达到 $2[\frac{n+1}{2}]$？该数值为何具有重要意义？
• RQ4 当等距群为最大时，能否验证 Finsler 球面上 $K \equiv 1$ 的 Anosov 猜想？
• RQ5 等距变换的固定点集（特别是 $\psi^k$）在分类此类球面上的闭测地线中起什么作用？

主要发现

• 在具有 $K \equiv 1$ 且仅有有限多条原生闭测地线的 Finsler 球面上，几何上互异的可逆闭测地线的数量至少为 $\dim I_0(S^n, F)$，即等距群恒同分支的维数。
• 当 $\dim I_0(S^n, F) = [\frac{n+1}{2}]$ 时，几何上互异的闭测地线数量恰好为 $[\frac{n+1}{2}]$，且所有闭测地线均为可逆的。
• 在此最大情形下，原生闭测地线的总数为 $2[\frac{n+1}{2}]$，从而证实了该类 Finsler 球面上的 Anosov 猜想。
• 当 $n = 2n'$ 为偶数时，对径映射 $\psi$ 的固定点集是一个维数为 $2n' - 1$ 的全测地子流形，且该子流形继承了相同的曲率与有限性条件。
• 若存在一条不属于 $n'$ 个生成元的闭测地线，将通过维数奇偶性与固定点集结构导致矛盾，从而证明当等距群为最大时，此类测地线不可能存在。
• 通过 Leray-Serre 谱序列计算得出，$T$-等变欧拉示性数 $\chi_T(M;\mathbb{R})$ 等于 $[\frac{n+1}{2}]$，该结果与奇数维情形下几何上互异的闭测地线数量一致。