[论文解读] The number of imaginary quadratic fields with a given class number

K. Soundararajan|ArXiv.org|Jul 2, 2007

Advanced Topology and Set Theory参考文献 1被引用 5

一句话总结

本文建立了虚二次域类数为给定值 $ h $ 的数量的渐近公式，表明类数不超过 $ H $ 的此类域的总和渐近增长为 $ \frac{3\zeta(2)}{\zeta(3)}H^2 + O(H^2(\log H)^{-1/2+\epsilon}) $。此外，本文给出了一个非平凡的上界 $ \mathcal{F}(h) \ll h^2(\log\log h)^4 / \log h $，并猜想 $ \mathcal{F}(h) \asymp h / \log h $，其偏差依赖于 $ h $ 的素因子。这些结果解决了关于类数奇部的一个问题，并细化了对类数分布的理解。

ABSTRACT

We investigate the number ${\Cal F}(h)$ of imaginary quadratic fields with class number $h$. We establish an asymptotic formula for the average value of ${\Cal F}(h)$. We also establish a modest non-trivial upper bound for ${\Cal F}(h)$ and give an application to a question of Rosen and Silverman on the odd part of the class number. Finally, we speculate on the asymptotic nature of ${\Cal F}(h)$.

研究动机与目标

• 确定 $ \mathcal{F}(h) $（即类数为 $ h $ 的虚二次域的数量）在 $ h $ 较大时的渐近行为。
• 在不依赖兰道-西格尔零点问题的前提下，为 $ \mathcal{F}(h) $ 提供一个非平凡的上界。
• 研究 $ \mathcal{F}(h) $ 的平均阶，并推导出总和 $ \sum_{h \leq H} \mathcal{F}(h) $ 的渐近公式。
• 回答罗森与西尔弗曼关于类数奇部有界的域的数量的问题。
• 推测 $ \mathcal{F}(h) $ 的大小及其算术结构，包括由小素数整除性引起的偏差。

提出的方法

• 利用类数公式和 $ L(1, \chi_{-d}) $ 值的分布，推导出 $ \sum_{h \leq H} \mathcal{F}(h) $ 的渐近公式。
• 应用 $ L(1, \chi_{-d}) $ 的随机模型，将 $ L(1, \mathbb{X}) $ 视为在素数处具有独立欧拉因子的随机变量。
• 使用梅林变换与围道积分，将对判别式的求和与 $ L(1, \mathbb{X})^{-s} $ 的期望联系起来。
• 应用太田泽定理，将求和限制在判别式 $ d \leq H^2 \log\log H $ 范围内，以控制具有小 $ L $-值的异常判别式。
• 应用部分求和法与 $ L $-值的界，推导出误差项 $ O(H^2(\log H)^{-1/2+\epsilon}) $。
• 使用光滑化的佩龙型积分与截断函数，分离出 $ \mathcal{F}(H) $，并通过 $ L^1 $-型估计导出上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $ h \to \infty $ 时，类数为 $ h $ 的虚二次域数量的渐近增长速率是什么？
• RQ2 能否建立一个不依赖于兰道-西格尔零点问题的 $ \mathcal{F}(h) $ 的非平凡上界？
• RQ3 $ \mathcal{F}(h) $ 的分布如何依赖于 $ h $ 的素因子分解，特别是对 2 的幂次及小的奇素数？
• RQ4 $ N(C; X) $（即满足类数奇部 $ \leq C $ 的基本判别式 $ -d \leq X $ 的数量）的渐近行为如何？
• RQ5 $ \mathcal{F}(h) $ 的平均阶能否用于预测 $ \mathcal{F}(h) $ 的典型大小？其分布中是否存在预期的偏差？

主要发现

• 总和 $ \sum_{h \leq H} \mathcal{F}(h) $ 的渐近表达式为 $ \frac{3\zeta(2)}{\zeta(3)}H^2 + O(H^2(\log H)^{-1/2+\epsilon}) $，确认了预期的二次增长，并给出了精确的常数。
• 类数为 $ H $ 的虚二次域的数量满足 $ \mathcal{F}(H) \ll H^2(\log\log H)^4 / \log H $，这是对大 $ H $ 的非平凡上界。
• $ \mathcal{F}(h) $ 的平均值渐近为 $ \frac{3\zeta(2)}{\zeta(3)}H^2 $，当 $ H=100 $ 时主项约为 41,053，接近沃特金斯的精确计数 42,272。
• 本文猜想 $ \mathcal{F}(h) \asymp h / \log h $，当 $ h $ 被小素数（如 3 或 5）整除时可能存在乘法偏差。
• 对固定的 $ C $，满足类数奇部 $ \leq C $ 的判别式数量 $ N(C; X) $ 满足 $ N(C; X) \ll X(\log\log X)^6 / \log X $，确认了 $ N(C; X) = o(X) $。
• 通过改进技术，总和 $ \sum_{h \leq H} \mathcal{F}(h) $ 的误差项可提升为 $ O(H^2(\log H)^{-1+\epsilon}) $，但当前方法尚未改进上界中 $ \log h $ 的幂次。