[论文解读] The number of "magic" squares and hypercubes

Matthias Beck, Moshe Cohen+2 more|ArXiv.org|Jan 2, 2002

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 10被引用 8

一句话总结

本文证明了阶数为 $n$、线和为 $t$ 的幻方、对称幻方及泛对角幻方的数量是关于 $t$ 的拟多项式，其显式次数与互惠定律成立。该研究将埃赫拉特（Ehrhart）关于半幻方的理论推广至这些受约束的组合对象，证明其计数函数为具有周期系数和函数恒等式的拟多项式，将经典结果推广至非负整数元素与固定线和的非传统幻方。

ABSTRACT

We define a magic square to be a square matrix whose entries are nonnegative integers and whose rows, columns, and main diagonals sum up to the same number. We prove structural results for the number of such squares as a function of the size of the matrix and the line sum. We give examples for small sizes and show similar results for symmetric, pandiagonal magic squares, and magic hypercubes.

研究动机与目标

• 将埃赫拉特关于半幻方的多项式理论推广至幻方、对称幻方及泛对角幻方。
• 确定这些幻方类型计数函数 $M_n(t)$、$S_n(t)$ 与 $P_n(t)$ 的函数形式，特别是其次数与周期性。
• 建立这些计数函数的互惠定律及零点位置，类比于埃赫拉特对半幻方 $H_n(t)$ 所得结果。
• 将分析扩展至半幻方超立方体，并证明其计数函数亦为拟多项式。

提出的方法

• 将半幻方、幻方、对称幻方及泛对角幻方定义为非负整数矩阵，其行和、列和与对角线和均等于固定线和 $t$。
• 利用埃赫拉特理论与多面体几何，将此类矩阵的集合建模为 $\mathbb{R}^{n^2}$ 中的有理多面体，其约束条件为沿各条线上元素之和。
• 通过分析底层多面体的结构及其整数点计数，证明计数函数 $M_n(t)$、$S_n(t)$ 与 $P_n(t)$ 为拟多项式。
• 通过计算由和约束所定义的仿射子空间的维数，推导出这些拟多项式的次数。
• 建立形如 $F_n(-n-t) = \pm F_n(t)$ 的互惠定律，并证明对每个函数均有 $F_n(-1) = \cdots = F_n(-n+1) = 0$。
• 通过边界约束的递归代换与容斥原理，证明线性无关约束的数量等于 $(n-1)^d$，从而确认计数函数的次数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有非负整数元素与线和 $t$ 的 $n \times n$ 幻方，其数量的函数形式为何？
• RQ2 幻方、对称幻方与泛对角幻方的计数函数的次数与周期性，与半幻方的对应性质相比如何？
• RQ3 计数函数 $M_n(t)$、$S_n(t)$ 与 $P_n(t)$ 是否满足类比于埃赫拉特对 $H_n(t)$ 所得结果的互惠定律？
• RQ4 这些幻方类型解集多面体的维数是多少？其与计数函数次数有何关系？
• RQ5 半幻方超立方体 $H_n^d(t)$ 的计数函数是否为拟多项式？若是，其次数为何？

主要发现

• 阶数为 $n$ 的幻方计数函数 $M_n(t)$ 是次数为 $n^2 - 2n - 1$ 的拟多项式，满足 $M_n(-n-t) = (-1)^{n-1} M_n(t)$，且 $M_n(-1) = \cdots = M_n(-n+1) = 0$。
• 对称幻方函数 $S_n(t)$ 是次数为 $n^2/2 - n/2 - 2$ 的拟多项式，满足 $S_n(-n-t) = (-1)^{n(n-1)/2} S_n(t)$，且在 $t = -1, \dots, -n+1$ 处为零；$S_4(t)$ 已显式计算，周期为 4。
• 泛对角幻方函数 $P_n(t)$ 是次数为 $n^2 - 3n + 2$ 的拟多项式，满足 $P_n(-n-t) = P_n(t)$，且 $P_n(-1) = \cdots = P_n(-n+1) = 0$；$P_4(t)$ 已显式给出，周期为 2。
• 对于维度 $d$、阶数 $n$ 的半幻方超立方体，计数函数 $H_n^d(t)$ 是次数为 $(n-1)^d$ 的拟多项式，满足 $H_n^d(-n-t) = (-1)^{n-1} H_n^d(t)$，且在 $t = -1, \dots, -n+1$ 处为零，将埃赫拉特结果推广至高维。
• 本文证明当 $n, d \geq 3$ 时，$H_n^d(t)$ 不是多项式，支持了 $M_n(t)$、$S_n(t)$ 与 $P_n(t)$ 在 $n \geq 5$ 时亦非多项式的猜想。
• 推导出了 $M_4(t)$、$S_4(t)$ 与 $P_4(t)$ 的显式公式，表明 $M_4(t)$ 是周期为 2 的二次拟多项式，$S_4(t)$ 周期为 4，$P_4(t)$ 是次数为 6、周期为 2 的拟多项式。