[论文解读] The number of non-solutions to an equation in a group and non-topologizable torsion-free groups

Anton A. Klyachko, А. В. Трофимов|ArXiv.org|Nov 7, 2004

Advanced Topology and Set Theory参考文献 2被引用 11

一句话总结

本文构造了一个有限生成、无挠、非拓扑化的群 $H$，以及一个关于 $H$ 的方程 $w(x) = 1$，使得恰好一个元素（单位元）不是解，而其余所有元素都是解。此外，本文证明了对于任意两个无限基数 $\bf s$ 和 $\bf n$，存在一个群 $G$ 和一个关于 $G$ 的方程，其解的个数恰好为 $\bf s$，非解的个数恰好为 $\bf n$，从而解决了群论中关于非拓扑化群与方程解的一个问题。

ABSTRACT

It is shown that, for any pair of cardinals with infinite sum, there exist a group and an equation over this group such that the first cardinal is the number of solutions to this equation and the second cardinal is the number of non-solutions to this equation. A countable torsion-free non-topologizable group is constructed.

研究动机与目标

• 构造一个可数、无挠、非拓扑化的群，以回答 P. I. Kirku 关于非离散群拓扑的问题。
• 证明对于任意一对无限基数 $\bf s$ 和 $\bf n$，存在一个群和一个方程，其解的个数恰好为 $\bf s$，非解的个数恰好为 $\bf n$。
• 证明在群中，一个元素的补集可以是单个方程的非解集合，这是此类分解中最简单的情形。
• 将 Ol’shanskii 的分层次呈现方法扩展，以构造具有指定方程解集的群。

提出的方法

• 通过使用具有递增阶数的相对关系的分层次呈现，作者构造了一个群 $H$，使其满足特定的小余因子类似条件（R1–R6），以控制字的结构和共轭类。
• 在由 $a$ 和 $b$ 生成的自由群中定义一个字 $v(x)$，并构造一个群 $H$，使得 $v(1) \neq 1$，从而确保单位元不是关键方程的解。
• 引入一个特定方程 $[c_1 v([a,x]) c_1^{-1}, v([b,x])] = 1$ 在 $H$ 上，并通过群论论证和共轭控制证明其解集为 $H \setminus \{1\}$。
• 应用引理 1 确保不属于 $\langle a\rangle$ 或 $\langle b\rangle$ 的元素都是解，并利用 $a$、$b$ 和 $c_1$ 的非真幂性质排除单位元作为解。
• 使用超幂和 Löwenheim–Skolem 定理，将有限生成性推广至任意无限基数。
• 通过结合自由积与直积，实现方程在群中解集与非解集的基数 $\bf s$ 和 $\bf n$ 的任意组合。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个无挠、非拓扑化的群，使得其单个元素的补集恰好是某个方程的非解集合？
• RQ2 群中方程的解集与非解集的可能基数对有哪些？
• RQ3 能否构造一个群，使得某个方程的解集是共简单的（即仅缺少一个元素）？
• RQ4 群中方程的解集能否具有任意无限基数，且非解集也具有任意无限基数？
• RQ5 如何利用分层次呈现来控制具有特定结构性质的群中方程的解集？

主要发现

• 存在一个有限生成、无挠、非拓扑化的群 $H$，使得方程 $w(x) = 1$ 恰好有一个非解：单位元。
• 对于任意两个无限基数 $\bf s$ 和 $\bf n$，存在一个大小为 $\bf s + n$ 的群 $G$ 和一个关于 $G$ 的方程 $u(x) = 1$，其解的个数恰好为 $\bf s$，非解的个数恰好为 $\bf n$。
• 在群 $H$ 上，方程 $[c_1 v([a,x]) c_1^{-1}, v([b,x])] = 1$ 的解集为 $H \setminus \{1\}$，从而证明了主定理。
• 该构造依赖于满足严格小余因子条件（R1–R6）的分层次呈现，确保对共轭和字长的控制。
• 通过生成元的非真幂性质和关系的结构，证明了群 $H$ 是无挠的。
• 该结果表明，可数群中单个元素的补集可以是单个方程的非解集合，这是此类分解中最小可能的情形。