[论文解读] The number of permutations with a given number of sequences

Marcus Kollar|ArXiv.org|Oct 15, 2006

Bayesian Methods and Mixture Models被引用 6

一句话总结

本文通过生成函数和正交多项式技术求解递推关系，推导出 $ n $ 个元素中恰好含有 $ s $ 个上升或下降运行（即极大递增或递减子序列）的排列数 $ P(n,s) $ 的显式闭式表达式。文中给出了多项式 $ \psi_i(n,s) $、生成函数 $ u_s(x) $ 以及分子多项式 $ \Phi_s(x) $ 的精确公式，解决了 Canfield 与 Wilf 提出的问题，并纠正了文献中先前的不准确之处。

ABSTRACT

P(n,s) denotes the number of permutations of 1,2,...n that have exactly s sequences. Canfield and Wilf [math.CO/0609704] recently showed that P(n,s) can be written as a sum of s polynomials in n. We determine these polynomials explicitly and also obtain explicit expressions for P(n,s) and its fixed-s generating function u_s(x).

研究动机与目标

• 推导出 $ P(n,s) $ 的显式闭式表达式，即 $ n $ 个元素中恰好含有 $ s $ 个运行（极大递增或递减序列）的排列数。
• 从 Canfield 与 Wilf 的递推关系出发，显式确定多项式 $ \psi_i(n,s) $，使其将 $ P(n,s) $ 表示为包含 $ (s-i)^n $ 项的和的形式。
• 计算固定 $ s $ 的生成函数 $ u_s(x) = \sum_{n=2}^\infty P(n,s)x^n $ 及其分子多项式 $ \Phi_s(x) $，确认并扩展了有理生成函数形式 $ \Phi_s(x)/\Delta_s(x) $。
• 通过严格推导并利用计算机代数对 $ n,s,i \leq 20 $ 的情形进行验证，纠正并验证先前结果，特别是 Carlitz 的工作中的错误。

提出的方法

• 通过引入 $ \phi_i(n,t) = \psi_i(n,s-i) $ 将 $ \psi_i(n,s) $ 的递推关系转化为含参形式，减少对 $ s $ 的依赖。
• 引入生成函数 $ f(x,n,t) = \sum_i \phi_i(n,t)x^i $，其满足包含 $ f $、$ x\partial f/\partial x $ 和 $ n $ 的线性偏微分方程。
• 假设可分离解 $ f(x,n,t) = g(x,t) h(x,t)^n $，求得 $ h(x,t) = (1-x^2)^{1/2} $，进而得到关于 $ g(x,t) $ 的可解常微分方程。
• 利用 $ (1-x^2)^{(n-3)/2} $ 和 $ \left( \frac{2}{1+\sqrt{1-x^2}} \right)^t $ 的级数展开，提取系数，推导出 $ \phi_i(n,t) $ 的显式表达式，从而得到 $ \psi_i(n,s) $ 的表达式。
• 将显式得到的 $ \psi_i(n,s) $ 代入求和式 $ P(n,s) = \sum_{i=0}^{s-1} \psi_i(n,s)(s-i)^n $，获得 $ P(n,s) $ 的闭式公式。
• 通过对 $ n $ 求和生成函数 $ u_s(x) $，并清除分母，得到 $ \Phi_s(x) $，验证其次数与结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 表达 $ P(n,s) $ 为 $ (s-i)^n $ 项之和的多项式 $ \psi_i(n,s) $ 的显式形式是什么？
• RQ2 固定 $ s $ 的生成函数 $ u_s(x) $ 是否能以闭式表达？其分子 $ \Phi_s(x) $ 的结构如何？
• RQ3 能否通过解析方法求解 $ \psi_i(n,s) $ 的递推关系，从而得到关于 $ n $ 的精确多项式表达式？
• RQ4 先前报道的 $ P(n,s) $ 公式，特别是 Carlitz 工作中的公式，是否正确？能否被验证或修正？
• RQ5 $ \Phi_s(x) $ 的精确次数与系数结构是什么？其与分母 $ \Delta_s(x) $ 的关系如何？

主要发现

• 多项式 $ \psi_i(n,s) $ 的显式表达式为 $ \psi_i(n,s) = K(s-i) \sum_{j=0}^{\lfloor i/2 \rfloor} g_{i,j} p_j(n,s-i) $，其中 $ K(t) = 2^{-(t-2)} $，$ g_{i,j} $ 为依赖于奇偶性的系数，$ p_j(n,t) $ 为二项式与超几何项的卷积和。
• 生成函数 $ u_s(x) $ 的表达式为 $ \sum_{i=0}^{s-1} \sum_{k=0}^{\lfloor i/2 \rfloor} \frac{B_{i,k}(x,s-i)}{(1 - (s-i)x)^{k+1}} $，其中 $ B_{i,k}(x,t) $ 涉及 $ \widetilde{\Phi}_k(tx) $ 和二项式系数。
• 分子多项式 $ \Phi_s(x) $ 的次数为 $ 1 + \lceil s(s+2)/4 \rceil $，其系数对 $ s = 1 $ 至 $ 10 $ 显式计算得出，例如 $ \Phi_1(x) = 2x^2 $，$ \Phi_2(x) = 4x^3 $，$ \Phi_3(x) = 2x^4(5 - 6x) $ 等。
• 推导 $ \widetilde{\Phi}_k(z) $ 所用的多项式 $ \widetilde{A}_k(z) $ 含因子 $ (1+z)^{k+1} $，其系数通过 WZ 证实的恒等式推导得出。
• 通过清除有理生成函数中的分母，最终得到 $ \Phi_s(x) $ 的表达式，确认其形式为 $ \Phi_s(x)/\Delta_s(x) $，其中 $ \Delta_s(x) = \prod_{i=0}^{s-1} (1 - (s-i)x)^{\lfloor i/2 \rfloor + 1} $。
• 通过计算对 $ n,s,i \leq 20 $ 的情形进行验证，确认结果正确，并解决了早期文献（尤其是 Carlitz 公式）中的不准确之处。