[论文解读] The number of quartic $D_4$-fields ordered by conductor

Salim Ali Altuğ, Arul Shankar+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 6, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文通过导出主项的显式质量公式，确定了按导子排序的四次 $D_4$-域的渐近数量。通过结合算术不变量理论与L-函数方法，并利用 $D_4$ 的外自同构，作者推导出精确的渐近公式，验证了 Kedlaya 和 Wood 的经验推测，并进一步扩展至按判别式排序的二次域类群与狭类群中 4 阶元素的计数。

ABSTRACT

We consider families of number fields of degree 4 whose normal closures over $\mathbb{Q}$ have Galois group isomorphic to $D_4$, the symmetries of a square. To any such field $L$, one can associate the Artin conductor of the corresponding 2-dimensional irreducible Galois representation with image $D_4$. We determine the asymptotic number of such quartic $D_4$-fields ordered by conductor, and compute the leading term explicitly as a mass formula, verifying heuristics of Kedlaya and Wood. Additionally, we are able to impose any local splitting conditions at any finite number of primes (sometimes, at an infinite number of primes), and as a consequence, we also compute the asymptotic number of order 4 elements in class groups and narrow class groups of quadratic fields ordered by discriminant. Traditionally, there have been two approaches to counting quartic fields, using arithmetic invariant theory in combination with geometry-of-number techniques, and applying Kummer theory together with L-function methods. Both of these strategies fall short in the case of $D_4$-fields ordered by conductor since counting quartic fields containing a quadratic subfield with large discriminant is difficult. However, when ordering by conductor, we utilize additional algebraic structure arising from the outer automorphism of $D_4$ combined with both approaches mentioned above to obtain exact asymptotics.

研究动机与目标

• 确定按导子有界的四次 $D_4$-域的渐近数量，改进以往按判别式排序的结果。
• 通过推导主项的显式质量公式，验证 Kedlaya 和 Wood 对 $D_4$-域的经验推测。
• 将计数方法扩展至有限或无限多个素数处的局部分裂条件，从而实现对类群统计的应用。
• 计算按判别式排序的二次域类群与狭类群中 4 阶元素的渐近数量。
• 通过证明基于导子的常数源自一致的 Euler 乘积质量公式，解决基于判别式与基于导子计数之间的差异。

提出的方法

• 作者以具有 $D_4$ 作为伽罗瓦群像的二维不可约伽罗瓦表示的 Artin 导子作为排序域的主要不变量。
• 他们结合算术不变量理论、数的几何技巧与 L-函数方法，借助 $D_4$ 的外自同构，克服了在二次子域判别式较大时计数的困难。
• 关键创新在于在有限与无限素数处使用局部规范 $\Sigma^{(\bullet)}$ 以施加分裂条件，从而控制无害扩张与类群元素。
• 该方法涉及在每个素数处构造一组稳定且可接受的局部条件 $(\rho_p, \rho_p')$，确保与 $D_4$ 的伽罗瓦群结构相容。
• 通过密度计算与命题 6.7 的应用，推导出渐近计数，将 $D_4$-域的数量与类群数据联系起来。
• 主项表达为素数上的 Euler 乘积：$\prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2} - \frac{2}{p^3} + \frac{2}{p^4}\right)$，并证明其为一个质量公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于每种符号 (0,2)、(1,1) 和 (2,0)，按导子 $X$ 有界的 $D_4$-四次域的渐近数量是多少？
• RQ2 基于导子排序的 $D_4$-域渐近计数的主常数能否表示为质量公式，从而验证 Kedlaya 和 Wood 的经验推测？
• RQ3 基于导子的 $D_4$-域计数与二次域类群及狭类群中 4 阶元素的分布之间有何关系？
• RQ4 能否将有限或无限多个素数处的局部分裂条件纳入计数方法中，其对应的渐近结果为何？
• RQ5 为何基于判别式的 $D_4$-域常数与基于导子的常数不同？后者能否表示为一致的 Euler 乘积？

主要发现

• 导子 $\leq X$ 的完全实 $D_4$-域的数量渐近为 $\frac{1}{4} \cdot \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2} - \frac{2}{p^3} + \frac{2}{p^4}\right) \cdot X \log X + O(X \log \log X)$。
• 导子 $\leq X$ 的复 $D_4$-域的数量渐近为 $\frac{3}{8} \cdot \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2} - \frac{2}{p^3} + \frac{2}{p^4}\right) \cdot X \log X + O(X \log \log X)$。
• 导子 $\leq X$ 的完全复 $D_4$-域的数量渐近为 $\frac{1}{8} \cdot \prod_p \left(1 - \frac{1}{p^2} - \frac{2}{p^3} + \frac{2}{p^4}\right) \cdot X \log X + O(X \log \log X)$。
• 主常数被证明为一个质量公式，解决了 $D_4$-域基于判别式与基于导子计数之间的差异。
• 该方法可对具有指定局部分裂行为的 $D_4$-域进行计数，从而实现按判别式排序的二次域类群中 4 阶元素的渐近计数。
• 通过 $\Sigma^{(\text{c})}$-条件，推导出实二次域狭类群中 4 阶元素的渐近公式，与类域论及型理论一致。