[论文解读] The number of singular vector tuples and uniqueness of best rank one approximation of tensors

Shmuel Friedland, Giorgio Ottaviani|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2012

Tensor decomposition and applications参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文通过代数几何与陈类计算，确定了通用复超量的奇异向量组数量，并证明了几乎所有实超量的最优低秩逼近唯一，包括秩一和部分对称情形。文中给出了奇异向量组数量的精确公式，并表明在温和的通用性条件下，最优低秩逼近几乎必然唯一。

ABSTRACT

In this paper we discuss the notion of singular vector tuples of a complex valued $d$-mode tensor of dimension m_1 x ... x m_d. We show that a generic tensor has a finite number of singular vector tuples, viewed as points in the corresponding Segre product. We give the formula for the number of singular vector tuples. We show similar results for tensors with partial symmetry. We give analogous results for the homogeneous pencil eigenvalue problem for cubic tensors, i.e. m_1=...=m_d. We show uniqueness of best approximations for almost all real tensors in the following cases: rank one approximation; rank one approximation for partially symmetric tensors (this approximation is also partially symmetric); rank-(r_1,...,r_d) approximation for $d$-mode tensors.

研究动机与目标

• 确定任意阶数和维度的通用复超量的奇异向量组数量。
• 建立实超量最优秩一逼近唯一的条件。
• 将唯一性结果扩展至部分对称超量及秩-$(r_1,\ldots,r_d)$ 逼近。
• 利用代数拓扑工具分析立方超量的齐次线性束特征值问题。
• 研究对称超量的最优低秩逼近是否可选取为保持对称性。

提出的方法

• 使用塞格雷嵌入将奇异向量组建模为复射影空间乘积中的点。
• 应用向量丛理论并计算陈类，将奇异向量组数量表示为特定丛的上陈类。
• 在复数与实数域上运用代数几何技术，利用通用性与泽里基拓扑。
• 将最优低秩逼近唯一性问题归约为代数簇的横截性及秩集的闭包性质。
• 使用希尔伯特-施密特范数定义最优逼近，并通过测度论论证（几乎必然唯一性）分析其唯一性。
• 应用张量秩理论及展平矩阵的子式结果，刻画通用秩条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个维度为 $m_1 \times \cdots \times m_d$ 的通用复超量有多少个奇异向量组？
• RQ2 在何种条件下，实超量的最优秩一逼近是唯一的？
• RQ3 当原始超量为部分对称时，能否选择实超量的最优秩-$(r_1,\ldots,r_d)$ 逼近为部分对称？
• RQ4 在齐次线性束特征值问题下，立方超量的奇异向量组数量是多少？
• RQ5 对称超量的最优低秩逼近是否也是对称的？对于几乎所有此类超量，它是否唯一？

主要发现

• 一个大小为 $m_1 \times \cdots \times m_d$ 的通用复 $d$ 阶超量的奇异向量组数量，由塞格雷积 $\mathbb{P}^{m_1-1} \times \cdots \times \mathbb{P}^{m_d-1}$ 上特定向量丛的上陈类给出。
• 对于几乎所有实超量，若其在具有满多线性秩的意义下为通用，则其最优秩一逼近是唯一的。
• 对于部分对称超量，在相同通用性条件下，其最优秩一逼近是唯一的，且可选取为对称。
• 在满足通用性条件 $\sum_{i=1}^d (m_i - r_i) \geq d-1$ 时，实超量的最优秩-$(r_1,\ldots,r_d)$ 逼近对几乎所有超量都是唯一的。
• 对于 $m_1 = \cdots = m_d$ 的 $d$ 阶立方超量，奇异向量组数量为有限且可通过齐次线性束特征值问题计算。
• 具有唯一最优 $\mathbf{r}$-秩逼近的超量集合是 $\mathbb{R}^{m_1 \times \cdots \times m_d}$ 的全测度子集，即几乎处处成立。